MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 27. jun 2018.
9. zadatak

Zadatak ide ovako: Konveksan četvorougao [inlmath]ABCD[/inlmath] upisan je u krug poluprečnika [inlmath]2[/inlmath]. Ako je dužina dijagonale [inlmath]AC=4[/inlmath], a [inlmath]\angle BDC=30^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle ACD=45^\circ[/inlmath], onda je proizvod dužina stranica četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednak: (Priložio sam sliku)


Rešenje je: [inlmath]32\sqrt3[/inlmath]
Ono što sam ja zaključio jeste: [inlmath]AC=R[/inlmath] zato što je [inlmath]AC[/inlmath] ujedni i najveća tetiva moguća unutar trougla. Takođe da je [inlmath]\angle DTC=105^\circ[/inlmath], [inlmath]T[/inlmath] je tačka u preseku [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]DB[/inlmath] (Izvinite nisam obeležio na slici). Iz toga sledi da je [inlmath]\angle DTA=75^\circ[/inlmath], zato što zbir uglova [inlmath]\angle DTC+\angle DTA=180^\circ[/inlmath]

I tu sam stao. Ima li neko ideju?

Pošto si ispravno uočio da je dijagonala [inlmath]AC[/inlmath] ujedno i prečnik kružnice, jasno je koliko mora iznositi ugao [inlmath]\angle ADC[/inlmath]. Odatle, posmatrajući trougao [inlmath]\triangle ADC[/inlmath], možemo odrediti i treći njegov ugao, [inlmath]\angle CAD[/inlmath]. Šta nam to govori o trouglu [inlmath]\triangle ADC[/inlmath], kakav je to trougao? Kad ovo zaključimo, možemo odmah, bez mnogo računanja, odrediti stranice [inlmath]CD[/inlmath] i [inlmath]DA[/inlmath].

Prelazimo na trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Ista priča koja je važila za ugao [inlmath]\angle ADC[/inlmath] važi sada i za ugao [inlmath]\angle ABC[/inlmath]. Ugao [inlmath]\angle BAC[/inlmath] je nad istom tetivom kao i ugao [inlmath]\angle BDC[/inlmath], prema tome, i on je poznat. Koliki je onda treći ugao trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], ugao [inlmath]\angle ACB[/inlmath]? Kakav je onda trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]? Odavde možemo takođe bez mnogo računa odrediti i stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath].

Daniel je napisao:Pošto si ispravno uočio da je dijagonala [inlmath]AC[/inlmath] ujedno i prečnik kružnice, jasno je koliko mora iznositi ugao [inlmath]\angle ADC[/inlmath].

Da li je to da je svaki ugao naspram prečnika kružnice jednak [inlmath]90^\circ[/inlmath]?

Da, periferni ugao nad prečnikom uvek je prav ugao.

Daniel je napisao:Ugao [inlmath]\angle BAC[/inlmath] je nad istom tetivom kao i ugao [inlmath]\angle BDC[/inlmath], prema tome, i on je poznat.

Nisam siguran da razumem ovaj deo. Nad kojom tetivom su oni isti?
Edit: Da se ne misli na [inlmath]BC[/inlmath]?

Kad se uglovi obeležavaju s tri velika slova, tada su prvo i poslednje slovo oznake tačaka koje se nalaze na različitim kracima tog ugla, dok je slovo u sredini – teme tog ugla.
Znači, uglovi [inlmath]\angle{\color{red}B}A{\color{red}C}[/inlmath] i [inlmath]\angle{\color{red}B}D{\color{red}C}[/inlmath] su uglovi nad tetivom [inlmath]BC[/inlmath], logično. Teme prvog ugla je tačka [inlmath]A[/inlmath], a teme drugog ugla je tačka [inlmath]D[/inlmath].

A pošto su to periferni uglovi nad istom tetivom, i to oba s iste strane te tetive, oni su jednaki. Da li ti je poznata ta osobina perifernih uglova?

Da jeste poznata mi je. On je dva puta manji od centralnog ugla nad tetivom, a takođe su svi periferni uglovi nad tetivom jednaki. Zar ne?
Uspeo sam da uradim zadatak, hvala ti puno

Nema na čemu.

miljan1403 je napisao:On je dva puta manji od centralnog ugla nad tetivom, a takođe su svi periferni uglovi nad tetivom jednaki. Zar ne?

Ako ćemo da budemo baš precizni, prvi deo rečenice važi onda kada posmatramo periferni ugao koji je s iste strane tetive s koje je i centar kružnice.
Slično važi i za drugi deo rečenice – periferni uglovi nad istom tetivom su jednaki ako su sa iste strane te tetive. Ako su sa suprotnih strana tetive, onda su sumplementni (zbir im je [inlmath]180^\circ[/inlmath]).

Dobar dan, gospodo! Ja Daniele bas i nisam u potpunosti upucen u ove pojedinosti za periferne uglove... Literatura kojom raspolazem nije obuhvatila te stvari, mozes li mozda da podelis link eventualno nekoliko postova (tema) na forumu koji obuhvataju tu tematiku?

Mislim da nigde na forumu nije to detaljnije objašnjeno nego ovde. Ovo napisano u ovoj temi ti je sasvim dovoljno da to možeš primeniti u zadacima.