MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2016.
20. zadatak

Zadatak ide ovako: Dužine stranica oštrouglog trougla su [inlmath]a=60[/inlmath], [inlmath]b=52[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], a veličine odgovarajućih uglova su [inlmath]\alpha[/inlmath], [inlmath]\beta[/inlmath] i [inlmath]\gamma[/inlmath]. Ako je [inlmath]\sin\alpha=\frac{12}{13}[/inlmath], onda je [inlmath]\sin\gamma[/inlmath] jednak:
Izračunao sam [inlmath]\sin\beta=\frac{4}{5}[/inlmath], ali tu sam zapeo i ne znam šta da radim, jel zna neko da me usmeri u dobrom pravcu?

Dobro si počeo. Mozes takodje i da odredis [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\cos\beta[/inlmath]. Posto je trougao ostrougli neces imati problema sa znakom ispred korena. Sad imaš [dispmath]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/dispmath][dispmath]\alpha+\beta=180^\circ-\gamma[/dispmath] Sad sinusujes obe strane i to će te odvesti do rešenja.

Napisaću još jedan način kako možeš rešiti zadatak, pa ti uzmi koji ti je volja.
[dispmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{5}{13}[/dispmath] Znamo zbog čega smo uzeli plus ispred korena... Sad primenjujemo kosinusnu teoremu
[dispmath]a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos\alpha[/dispmath][dispmath]60^2=52^2+c^2-2\cdot\frac{\cancelto{4}{52}}{\cancelto{1}{13}}\cdot5\cdot c[/dispmath][dispmath]c^2-40c-896=0[/dispmath][dispmath]c_{1/2}=\frac{40\pm72}{2}[/dispmath][dispmath]c_1=\frac{40+72}{2}=56\qquad c_2=\frac{40-72}{2}=-16[/dispmath] Drugu vrednost naravno odbacujemo, pa ostaje [inlmath]c=56[/inlmath]. Sad primenujemo sinusnu teoremu
[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}\;\Longrightarrow\;\sin\gamma=\frac{c\cdot\sin\alpha}{a}[/dispmath][dispmath]\sin\gamma=\frac{56\cdot\frac{\cancelto{1}{12}}{13}}{\cancelto{5}{60}}\\
\enclose{box}{\sin\gamma=\frac{56}{65}}[/dispmath] Identičan je postupak i ako radiš preko ''kosinusne teoreme za stranicu [inlmath]b[/inlmath]''
[dispmath]b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos\beta[/dispmath]

Frank je napisao:Identičan je postupak i ako radiš preko ''kosinusne teoreme za stranicu [inlmath]b[/inlmath]''
[dispmath]b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos\beta[/dispmath]

S tim, da bismo tada morali prvo odrediti [inlmath]\cos\beta[/inlmath], a pre toga [inlmath]\sin\beta[/inlmath] (ako idemo preko sinusne), što donekle povećava obim posla.

Frank je napisao:Napisaću još jedan način kako možeš rešiti zadatak, pa ti uzmi koji ti je volja.

Uspeo sam da uradim Moram da ti pohvalim Latex, prostor između svega je perfect