MATEMANIJA

1. Dijagonale konveksnog cetverougla [inlmath]ABCD[/inlmath] se sijeku u tacki [inlmath]O[/inlmath].Proizvoljna prava [inlmath]p[/inlmath] sijece [inlmath]AB[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath], a [inlmath]CD[/inlmath] u tacki [inlmath]N[/inlmath].Dokazati da su ortogonalne projekcije tacaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] na dijagonale cetverougla vrhovi jednog trapeza. (kad se slika nacrta vidi se da je to traoez ali kako dokazati )

2.Dokazati da postoji trougao čije su stranice jednake i paralelne s tezisnicama zadanog trougla.Naci odnos povrsina ta dva trougla!?

3.Dvije kruznice se sijeku (razlicitih poluprecnika).Dokazati da zajednicka sekanta (koja sadrzi zajednicku tetivu) polovi odsjecak zajednicke tangente izmedju diralista!

4.Odrediti mnogougao koji ima jednak broj stranica i dijagonala!

4.Odrediti mnogougao koji ima jednak broj stranica i dijagonala!

Obelžimo broj stranica sa [inlmath]N_S[/inlmath], broj temena sa [inlmath]N_T[/inlmath] i broj dijagonala sa [inlmath]N_D[/inlmath].
Primetimo da je broj stranica jednak broju temena [inlmath]N_S = N_T[/inlmath].
Formula za broj dijagonala u mnogouglu glasi:
[dispmath]N_D = \frac{N_T(N_T-3)}{2}[/dispmath]
Zbog uslova zadatka [inlmath]N_D=N_S[/inlmath] možemo zameniti sa [inlmath]x[/inlmath] i rešiti jednačinu.
[dispmath]x=\frac{x(x-3)}{2}[/dispmath]
[dispmath]x^2 -5x = 0[/dispmath]
Rešavanjem kvadratne jednačine dobijamo da je [inlmath]x = 5[/inlmath]

studentica_m je napisao:3.Dvije kruznice se sijeku (razlicitih poluprecnika).Dokazati da zajednicka sekanta (koja sadrzi zajednicku tetivu) polovi odsjecak zajednicke tangente izmedju diralista!

[inlmath]\overline{PA}=\overline{PM}=r_1[/inlmath]
[inlmath]\overline{QB}=\overline{QM}=r_2[/inlmath][dispmath]\triangle PMR\quad\Rightarrow\quad r_1^2=\overline{PR}^2+\overline{MR}^2\quad\left(1\right)[/dispmath][dispmath]\triangle QMR\quad\Rightarrow\quad r_2^2=\overline{QR}^2+\overline{MR}^2\quad\left(2\right)[/dispmath][dispmath]\left(1\right)-\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad r_1^2-r_2^2=\overline{PR}^2-\overline{QR}^2\quad\left(3\right)[/dispmath][dispmath]\triangle PCR\quad\Rightarrow\quad\overline{PR}^2=\overline{PC}^2-\overline{CR}^2\quad\left(4\right)[/dispmath][dispmath]\triangle QCR\quad\Rightarrow\quad\overline{QR}^2=\overline{QC}^2-\overline{CR}^2\quad\left(5\right)[/dispmath][dispmath]\left(4\right)-\left(5\right)\quad\Rightarrow\quad\overline{PR}^2-\overline{QR}^2=\overline{PC}^2-\overline{QC}^2\quad\left(6\right)[/dispmath][dispmath]\left(3\right),\left(6\right)\quad\Rightarrow\quad r_1^2-r_2^2=\overline{PC}^2-\overline{QC}^2\quad\left(7\right)[/dispmath][dispmath]\triangle PAC\quad\Rightarrow\quad\overline{AC}^2=\overline{PC}^2-r_1^2\quad\left(8\right)[/dispmath][dispmath]\triangle QBC\quad\Rightarrow\quad\overline{BC}^2=\overline{QC}^2-r_2^2\quad\left(9\right)[/dispmath][dispmath]\left(8\right)-\left(9\right)\quad\Rightarrow\quad\overline{AC}^2-\overline{BC}^2=\overline{PC}^2-\overline{QC}^2-\left(r_1^2-r_2^2\right)\quad\left(10\right)[/dispmath][dispmath]\left(7\right),\left(10\right)\quad\Rightarrow\quad\overline{AC}^2-\overline{BC}^2=r_1^2-r_2^2-\left(r_1^2-r_2^2\right)=0\quad\Rightarrow\quad\overline{AC}^2=\overline{BC}^2\quad\Rightarrow\quad\underline{\overline{AC}=\overline{BC}}[/dispmath]

Hvala puno

studentica_m je napisao:2.Dokazati da postoji trougao čije su stranice jednake i paralelne s tezisnicama zadanog trougla.Naci odnos povrsina ta dva trougla!?

Taman sam uradio zadatak pa mi se browser crhashovao pa sam sve ispočetka morao... pa se ponovo chrashovao... treći put sam imao back-up

Prvo moramo da dokažemo da trougao čije su stanice težišne duži nekog drugog trougla postoji. Ja ću dokaz izvesti koristeći vektore . Posmatrajmo trougao na slici:

Vektori težišnih duži se mogu izraziti kao zbir dva vektora na sledći način:
[dispmath]\vec{AA_1}= \vec{AB}+ \vec{BA_1}[/dispmath]
[dispmath]\vec{BB_1}= \vec{BC}+ \vec{CB_1}[/dispmath]
[dispmath]\vec{CC_1}= \vec{CA}+ \vec{AC_1}[/dispmath]
Za svaki trougao važi da zbir vektora stranica je uvek jednak [inlmath]0[/inlmath] (ovo je potreban i dovoljan uslov da tri vektora obrazuju trougao). Ustvari tvrdnja je tačna za svaku zatvorenu izlomjenu linju... I sa slike možeš da primetiš da je [inlmath]\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0[/inlmath]. Pošto je tvrdnja tačna za svaki onda mora biti tačna i za trougao sastavljen od vektora težišnih duži.
[dispmath]\vec{AA_1}\vec{BB_1}+\vec{CC_1}=[/dispmath]
[dispmath]\vec{AB}+ \vec{BA_1}+\vec{BC}+ \vec{CB_1}+\vec{CA}+ \vec{AC_1}=[/dispmath]
Znamo već da važi [inlmath]\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0[/inlmath] pa njih možemo izostaviti.
[dispmath]\vec{BA_1}+ \vec{CB_1}+ \vec{AC_1}=[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{2} (\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA})=[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{2} \cdot 0 \mathop=0[/dispmath]
Sada kad znamo da ovakav trougao postoji možemo naći odnos površina.
Formula za površinu ima bezbroj, ja sam pokušao preko vektora da izračunam površine ali nije baš uspevalo, preko heronove formule isto... Ako ima neko ideju neka je postuje ja se više nemogu mučiti u jedan sat ujutru....

studentica_m je napisao:1. Dijagonale konveksnog cetverougla [inlmath]ABCD[/inlmath] se sijeku u tacki [inlmath]O[/inlmath].Proizvoljna prava [inlmath]p[/inlmath] sijece [inlmath]AB[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath], a [inlmath]CD[/inlmath] u tacki [inlmath]N[/inlmath].Dokazati da su ortogonalne projekcije tacaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] na dijagonale cetverougla vrhovi jednog trapeza. (kad se slika nacrta vidi se da je to traoez ali kako dokazati )

Evo dokaza (u vidu kontraprimera) da nije trapez.