MATEMANIJA

U romb povrsine [inlmath]18\text{ cm}^2[/inlmath] upisan je krug povrsine [inlmath]\frac{9}{4}\pi\text{ cm}^2[/inlmath]. Ostar ugao romba je:
[inlmath]A)\;15^\circ\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;30^\circ\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;45^\circ\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;60^\circ[/inlmath]

Dobro vece ovaj zadatak mi nije jasan tjst uopste mi nije jasna planimetrija i ne znam kako da je sam radim.. Da li vi imate neki savet po tom pitanju?
Hvala unapred!!

Posto je u romb upisan krug, zakljucujemo da se radi o tangentnom cetvorouglu (stranice romba predstavljaju tangente na krug, tj. kruznicu). Kako je romb tangentan vazice
[dispmath]P=2ar\;\Longrightarrow\;a=\frac{P}{2r}=\frac{18}{2\cdot\frac{3}{2}}=6\text{ cm}[/dispmath] Povrsinu paralelograma (a romb svakako jeste specifican paralelogram) racunamo po formuli
[dispmath]P=ab\sin\alpha[/dispmath] gde je [inlmath]\alpha[/inlmath] ugao izmedju stranice [inlmath]a[/inlmath] i stranice [inlmath]b[/inlmath]. U nasem slucaju bice
[dispmath]P=a^2\sin\alpha\;\Longrightarrow\;\sin\alpha=\frac{P}{a^2}=\frac{1}{2}\\
\alpha=150^\circ\hspace{5mm}\text{ili}\hspace{5mm}\alpha=30^\circ[/dispmath] Kako se trazi ostar ugao, vrednost [inlmath]\alpha=150^\circ[/inlmath] otpada, pa ostaje samo [inlmath]\enclose{box}{\alpha=30^\circ}[/inlmath].
Ne znam koliko je ovaj nacin praktican jer zahteva poznavanje ne tako cesto koriscenih formula.
Za osobine tangentnog i tetivnog cetvorougla preporucujem ti ovu temu.

Vazi hvala puno na brzom odgovoru!!!

Frank je napisao:Posto je u romb upisan krug, zakljucujemo da se radi o tangentnom cetvorouglu (stranice romba predstavljaju tangente na krug, tj. kruznicu).

Napomenuo bih da je svaki romb tangentan. Kvadrat i romb su uvek tangentni, što ne važi za pravougaonik i za romboid.

Frank je napisao:Ne znam koliko je ovaj nacin praktican jer zahteva poznavanje ne tako cesto koriscenih formula.

Može i bez tih formula, najvažnije je nacrtati skicu, s koje se mnogo toga vidi:


Odavde odmah vidimo da će visina romba biti jednaka prečniku upisane kružnice (pošto upisana kružnica, jel'te, dodiruje i donju i gornju stranicu). Odatle, odmah dolazimo do podatka [inlmath]h=3\text{ cm}[/inlmath] ([inlmath]h[/inlmath] je visina romba).
Iz poznate površine romba i poznate visine nalazimo stranicu romba, [inlmath]a=6\text{ cm}[/inlmath].

Zatim uočimo zelenkasto obeleženi trougao na sledećoj slici:


To je polovina jednakostraničnog trougla (kad bismo visinu produžili za još jednu njenu dužinu prema dole, dobili bismo jednakostraničan trougao).
Pa, pošto je to polovina jednakostraničnog trougla, znamo koliko iznose njegovi uglovi, tako da vidimo da se zadatak može rešiti i bez nekog preteranog računanja.