MATEMANIJA

Probni prijemni ispit ETF – 20. jun 2020.
18. zadatak

Neka je dat pravilan tetraedar čija je ivica dužine [inlmath]a[/inlmath]. Površina trougla koji je dobijen kao presek datog tetraedra i ravni koja sadrži jednu ivicu tetraedra, a njoj naspramnu ivicu deli u odnosu [inlmath]2:1[/inlmath], jeste

[inlmath]\displaystyle(A)\;\frac{a^2\sqrt{17}}{12}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(B)\;\frac{a^2\sqrt3}{6}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(C)\;\frac{a^2\sqrt{19}}{12}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(D)\;\frac{a^2\sqrt7}{6}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(E)\;\frac{a^2\sqrt{17}}{13}[/inlmath]

Pokusao sam da nacrtam verujem da sam dobro nacrtao ali svakako ne mogu da nadjem nikakvu slicnost ili neke prave uglove da iskoristim pitagoru. Potrebno je valjda samo da izrazim tu visinu trougla preko [inlmath]a[/inlmath] ali ne vidim nacin kako to da uradim pa ako moze neka pomoc ili neko usmeravanje ka resavanju zadatka. Hvala unapred!

Označimo sa [inlmath]b[/inlmath] krak dobijenog trougla, a njegovu osnovicu sa [inlmath]a[/inlmath]. Na osnovu podataka iz zadatka možemo nacrtati skicu (vidi sliku dole). Upotrebom kosinusne teoreme izrazi [inlmath]b[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath], a zatim primenom Heronove formule izračunaj traženu površinu.

Malo bih dopunio primusov odgovor. Ono što je u zadatku potrebno odrediti to je površina zelenog trougla na slici:


Lako se može uočiti da je to jednakokraki trougao. Njegov krak [inlmath]b[/inlmath] određuje se na način koji je primus opisao, preko kosinusne, pri čemu je trougao na primusovoj slici zapravo strana [inlmath]ABD[/inlmath] tetraedra sa slike. Međutim, nakon toga ja ne bih koristio Herona, imamo poznatu osnovicu i krak jednakokrakog trougla [inlmath]\triangle CED[/inlmath] i to nam je dovoljno za izračunavanje njegove površine (polovina proizvoda osnovice i visine, pri čemu se visina lako odredi Pitagorinom).