Trougao upisan u kružnicu – probni prijemni MATF 2020.
Poslato: Utorak, 23. Jun 2020, 15:04Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
13. zadatak
Pozdrav svima, zadatak glasi: Trougao stranica [inlmath]AC=3[/inlmath], [inlmath]BC=5[/inlmath] i [inlmath]AB=7[/inlmath], upisan je u kruznicu sa centrom [inlmath]O[/inlmath].
Ukoliko je kosinus ugla [inlmath]\angle AOC=\frac{p}{q}[/inlmath], pri cemu su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] celi brojevi i [inlmath]\text{NZD}(p,q)=1[/inlmath], razlika [inlmath]q-p[/inlmath] iznosi?
[inlmath]A)\;17;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;26;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;27;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;36;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;37.[/inlmath]
Ja sam poceo tako sto sam preko poluobima pronasao povrsinu trougla, a zatim preko formule [inlmath]P=\frac{abc}{4R}[/inlmath] izracunao poluprecnik opisane kruznice. Dalje sam radio preko kosinusne teoreme u trouglu [inlmath]\triangle AOC[/inlmath] da bih izracunao kosinus ugla [inlmath]\angle AOC[/inlmath], medjutim ne ispada mi tacan rezultat. Hvala unapred na pomoci!
[dispmath]S=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15}{2}[/dispmath][dispmath]P=\sqrt{\frac{15}{2}\frac{15-6}{2}\frac{15-10}{2}\frac{15-14}{2}}=\frac{15\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{15\sqrt3}{2}=\frac{105}{4R}[/dispmath][dispmath]60R\sqrt3=210[/dispmath][dispmath]R=\frac{7\sqrt3}{6}[/dispmath]
TROUGAO [inlmath]\triangle AOC[/inlmath]:
[dispmath](AC)^2=(OC)^2+(AO)^2[/dispmath][dispmath]9=2\frac{49}{12}-2\cos AOC\frac{49}{12}[/dispmath][dispmath]9=\frac{49}{6}(1-\cos AOC)[/dispmath][dispmath]\cos AOC=-\frac{5}{49}[/dispmath]
13. zadatak
Pozdrav svima, zadatak glasi: Trougao stranica [inlmath]AC=3[/inlmath], [inlmath]BC=5[/inlmath] i [inlmath]AB=7[/inlmath], upisan je u kruznicu sa centrom [inlmath]O[/inlmath].
Ukoliko je kosinus ugla [inlmath]\angle AOC=\frac{p}{q}[/inlmath], pri cemu su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] celi brojevi i [inlmath]\text{NZD}(p,q)=1[/inlmath], razlika [inlmath]q-p[/inlmath] iznosi?
[inlmath]A)\;17;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;26;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;27;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;36;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;37.[/inlmath]
Ja sam poceo tako sto sam preko poluobima pronasao povrsinu trougla, a zatim preko formule [inlmath]P=\frac{abc}{4R}[/inlmath] izracunao poluprecnik opisane kruznice. Dalje sam radio preko kosinusne teoreme u trouglu [inlmath]\triangle AOC[/inlmath] da bih izracunao kosinus ugla [inlmath]\angle AOC[/inlmath], medjutim ne ispada mi tacan rezultat. Hvala unapred na pomoci!
[dispmath]S=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15}{2}[/dispmath][dispmath]P=\sqrt{\frac{15}{2}\frac{15-6}{2}\frac{15-10}{2}\frac{15-14}{2}}=\frac{15\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{15\sqrt3}{2}=\frac{105}{4R}[/dispmath][dispmath]60R\sqrt3=210[/dispmath][dispmath]R=\frac{7\sqrt3}{6}[/dispmath]
TROUGAO [inlmath]\triangle AOC[/inlmath]:
[dispmath](AC)^2=(OC)^2+(AO)^2[/dispmath][dispmath]9=2\frac{49}{12}-2\cos AOC\frac{49}{12}[/dispmath][dispmath]9=\frac{49}{6}(1-\cos AOC)[/dispmath][dispmath]\cos AOC=-\frac{5}{49}[/dispmath]
