MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Krug poluprečnika [inlmath]r[/inlmath], sa centrom u tački [inlmath]O[/inlmath] je upisan u pravougli trapez [inlmath]ABCD[/inlmath], takav da je [inlmath]\angle DAB=\angle CDA=90^\circ[/inlmath] i [inlmath]AB>CD[/inlmath]. Krug dodiruje stranice trapeza [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]CD[/inlmath], [inlmath]DA[/inlmath] redom u tačkama [inlmath]E[/inlmath], [inlmath]F[/inlmath], [inlmath]G[/inlmath], [inlmath]H[/inlmath]. Ukoliko je površina četvorougla [inlmath]EBFO[/inlmath] dva puta veća od površine četvorougla [inlmath]FCGO[/inlmath] koliko je [inlmath]\text{tg }\angle EBF[/inlmath]?
Tačan odgovor: [inlmath]\frac{1}{2\sqrt2}[/inlmath]

Zaista nemam ideju kako da rešim ovaj zadatak. Bilo kakva pomoć bi mi dobrodošla. Makar i samo da me usmerite ka načinu rešavanja zadatka.

Na osnovu odnosa površina četvorouglova [inlmath]EBFO[/inlmath] i [inlmath]FCGO[/inlmath] da se izvući sledeća jednakost: [inlmath]\frac{2}{3}BC=\frac{1}{3}BC+AB-CD[/inlmath], a na osnovu Pitagorine teoreme imamo da je [inlmath]BC^2=\left(AB-CD\right)^2+(2r)^2[/inlmath]. Takođe znamo da je [inlmath]AD=2r[/inlmath].

Ili, ovako:
[dispmath]BE=BF=\frac{2}{3}BC\\
CG=CF=\frac{1}{3}BC\\
\cos\angle EBF=\frac{BE-CG}{BC}=\cdots\\
\text{tg }\angle EBF=\frac{\sqrt{1-\cos^2\angle EBF}}{\cos\angle EBF}=\cdots[/dispmath]

philospher je napisao:Tačan odgovor: [inlmath]\frac{1}{2\sqrt2}[/inlmath]

To bi bio tačan odgovor kad bi se tražio kotangens ugla [inlmath]\angle EBF[/inlmath]. A ako se traži tangens tog ugla, kao što je napisano, onda je rešenje [inlmath]2\sqrt2[/inlmath].