MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2020.
20. zadatak

U pravilnoj cetvorostranoj piramidi povrsine [inlmath]4+4\sqrt2\text{ cm}^2[/inlmath], ugao izmedju osnove i bocnih strana je [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Jedno teme osnove i sredista bocnih ivica obrazuju novu piramidu cije je zapremina?
Resenje je [inlmath]\frac{1}{6}\text{ cm}^2[/inlmath].

Ja sam krenula od podatka da je ugao [inlmath]45^\circ[/inlmath] i na osnovu toga zakljucila da ce visina piramide [inlmath]H[/inlmath] i polovina ivice [inlmath]a[/inlmath] osnove biti jednake, odnosno [inlmath]\frac{a}{2}=H[/inlmath] i zbog pitagorine teoreme visina bocne strane [inlmath]h=\frac{a\sqrt2}{2}[/inlmath]. Posto je povrsina piramide jednaka [inlmath]a^2+4\frac{a\cdot h}{2}=4+4\sqrt2[/inlmath] odatle sam dobila podatak da je [inlmath]a=2[/inlmath], odnosno [inlmath]H=1[/inlmath], [inlmath]h=\sqrt2[/inlmath]. E sad, bocna ivica [inlmath]s[/inlmath] ce biti jednaka [inlmath]s=\sqrt{h^2+\frac{a}{2}}[/inlmath] odnosno [inlmath]s=\sqrt3[/inlmath]. Ta nova piramida koja se dobija mislim da je kosa ali nemam ideju kako da nadjem njenu zapreminu.

Dobija se kosa piramida, ali to ne bi trebalo da te zbuni jer tebe samo zanimaju duzina visine (rastojanje baze kose piramide od baze cetvorostrane pirdamide) i povrsina baze te piramide.

Trebalo da nacrtas presek (trougao koji cine 2 apoteme i stranica [inlmath]a=2[/inlmath]) i da vidis trougao sa srednjom linijom koja ce zapravo predstavljati ivicu baze tvoje kose piramide.
Na osnovu slicnosti mozes zakljuciti da ce visina kose piramide biti duplo manja od visine date piramide, i da ce osnovna ivica kose biti [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath] (osobina srednje linije trougla), kada primenis znalje
[dispmath]V=\frac{BH}{3}\\
V=1^2\,\frac{1}{3}\frac{1}{2}\\
\enclose{box}{V=\frac{1}{6}}[/dispmath]

Emotivac je napisao:Trebalo da nacrtas presek (trougao koji cine 2 apoteme i stranica [inlmath]a=2[/inlmath]) i da vidis trougao sa srednjom linijom koja ce zapravo predstavljati ivicu baze tvoje kose piramide.

Da nisi možda umesto apoteme hteo reći bočne ivice?

Emotivac je napisao:Na osnovu slicnosti mozes zakljuciti da ce visina kose piramide biti duplo manja od visine date piramide

Ne uspevam da vidim o kakvoj sličnosti govoriš? Može to malo detaljnije?

Treba da posmatras trougao koji sadrzi dijagonalu osnove i dve bocne ivice i tu nacrtaj i sredisnu liniju trougla koja ustvari pripada osnovi nove piramide. Srednja linija deli bocnu ivicu na dva jednaka dela [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. Visina tog trougla je visina piramide a srednja linija ce deliti visinu piramide na dva dela od kojih ce jedan deo biti visina nove piramide. Ako tu novu visinu obelezis sa [inlmath]x[/inlmath] onda mozes da napravis proporciju na osnovu slicnosti (ugao izmedju dijagonale osnove i bocne ivice je jednak uglu izmedju srednje linije i bocne ivice i takodje imaju zajednicki ugao izmedju visine i bocne ivice)
[dispmath]H:s=(H-x):\frac{s}{2}[/dispmath][dispmath]1:\sqrt3=(1-x):\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath]

Moze da se izracuna i preko toga da je srednja linija jednaka polovini stranice (u ovom slucaju polovini dijagonale) pa mozes i preko toga da uocis da je visina nove piramide jednaka polovini visine te prve piramide