MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
4. zadatak

Ako su dužine dijagonala paralelograma jednake [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath] i ako je mera jednog ugla koji određuju te dijagonale [inlmath]15^\circ[/inlmath], onda je proizvod dužina stranica tog paralelograma:
[inlmath]A)\;9−\sqrt3;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt{61};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;5;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\sqrt{97+36\sqrt3};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\sqrt{97−36\sqrt3}.[/inlmath]

Počela sam zadatak da radim po formulama: [inlmath]16=a^2+b^2+ab\cos15^\circ[/inlmath], [inlmath]36=a^2+b^2-ab\cos15^\circ[/inlmath], kasnije sam izračunala [inlmath]\cos15^\circ=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}}[/inlmath] i iz svega toga dobila da je [inlmath]AB=10\sqrt2-10\sqrt6[/inlmath]... Ali to nije ponuđeno

Mislim da si pogresila u upotrebi kosinusne teoreme. Naime, trebalo bi da računaš polovine dijagonala i ugao između njih.
U tom slučaju bi bilo:
[dispmath]a^2=\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2-2\cdot\left(\frac{d_1}{2}\right)\cdot\left(\frac{d_2}{2}\right)\cdot\cos15^\circ\\
b^2=\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2-2\cdot\left(\frac{d_1}{2}\right)\cdot\left(\frac{d_2}{2}\right)\cdot\cos(180^\circ-15^\circ)[/dispmath] Na kraju bi trebalo prilikom množenja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] da dobiješ razliku kvadrata.

Takođe, ja sam dobila da je [inlmath]\cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}[/inlmath]. Koristila sam adicionu formulu [inlmath]\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)[/inlmath]

Ovako sam ja uradila i dobila sam rezultat pod [inlmath]E[/inlmath].


Ukoliko sam negde pogrešila, molim za ispravku.

Pozdrav

Ja sam koristio formulu za polovinu ugla, ispada mi dosta drugacije za [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath]... Na osnovu cega bih trebao zakljuciti sta da koristim, pretpostavljam da sve to na osnovu zadatih resenja?

Kako god da računaš [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath], bilo preko adicionih bilo preko polovine ugla, moraš dobiti isti rezultat - [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath] je jednoznačno određen.
Ako hoćeš, možeš priložiti svoj postupak računanja [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath], pa da vidimo gde grešiš.
@ivanam je tačno izračunala vrednost [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath].

dosta se komplikuje sa mojim, ovaj nacin iznad je znatno "bezbedniji" stalno upadam dublje u koren zbog [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pa mislim da je lakse sa adicionom formulom da istransformisem posto se sastoji iz poznatih vrednosti za cosinus/sinus....

ivanam je napisao:Na kraju bi trebalo prilikom množenja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] da dobiješ razliku kvadrata.

Takođe, ja sam dobila da je [inlmath]\cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}[/inlmath]. Koristila sam adicionu formulu [inlmath]\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)[/inlmath]

To je tačan izraz za [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath], međutim, ako već [inlmath]ab[/inlmath] računaš preko razlike kvadrata, trebalo bi da za [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath] odmah dobiješ takav oblik kakav se pojavljuje i u ponuđenom odgovoru. Trebalo bi da si došla do:
[dispmath]a^2b^2=169-144\cos^215^\circ[/dispmath] Ovde nam je pogodno jer imamo kvadrat kosinusa, pa možemo primeniti formulu za kosinus polovine ugla, [inlmath]\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}[/inlmath], iliti [inlmath]2\cos^2\frac{\alpha}{2}=1+\cos\alpha[/inlmath]:
[dispmath]\begin{align}
a^2b^2&=169-144\cos^215^\circ\\
&=169-72\cdot2\cos^215^\circ\\
&=169-72(1+\cos30^\circ)\\
&=97-36\sqrt3
\end{align}[/dispmath] i korenovanjem obe strane tačno se za [inlmath]ab[/inlmath] dobije onakav oblik kakav je napisan u odgovoru pod [inlmath]E)[/inlmath].

Naravno, nije greška ni preko adicionih kako si ti radila, pa [inlmath]\cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}[/inlmath] kvadrirati i uvrstiti u [inlmath]a^2b^2=169-144\cos^215^\circ[/inlmath], ali mi se čini da je to nešto više posla.

Griezzmiha je napisao:Ja sam koristio formulu za polovinu ugla, ispada mi dosta drugacije za [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath]...

To što ispada „dosta drugačije“ ne mora da znači da je pogrešno, mogu dva izraza da budu naizgled međusobno skroz različita a da ipak predstavljaju jednu istu vrednost – eto ovde smo recimo imali vrednost [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath] zapisanu kao [inlmath]\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}[/inlmath], a mogli smo je isto zapisati i kao [inlmath]\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{4}}[/inlmath] da smo išli preko formule za kosinus polovine ugla... a kad i jednu i drugu vrednost izračunaš na kalkulatoru videćeš da obe iznose [inlmath]\approx0,9659[/inlmath].

[inlmath]\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{4}}[/inlmath] se inače može transformisati u [inlmath]\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}[/inlmath] preko Lagranžovog identiteta, koji se primenjuje na ugneždene korene (tj. koren unutar korena, kao što je ovde slučaj). Formula je prikazana ovde.