MATEMANIJA

Tekst zadatka: Tačka [inlmath]M[/inlmath] pripada osnovici [inlmath]AB[/inlmath] jednakokrakog trougla [inlmath]ABC[/inlmath], a tačke [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] su podnožja normala iz [inlmath]M[/inlmath] na krake [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath], redom. Dokazati da zbir duži [inlmath]MP[/inlmath] i [inlmath]MQ[/inlmath] ne zavisi od položaja tačke [inlmath]M[/inlmath].

Shvatio sam preko Geogebre da je rešenje da je zbir jednak dužini visine iz temena [inlmath]A[/inlmath] (mada može i [inlmath]B[/inlmath] jer je JKK trougao) na odgovarajuću stranicu. Ja bih taj presek označio sa [inlmath]F[/inlmath]. Dalje napravio bih pravu od visine [inlmath]MP[/inlmath] tj produžio bih je prema [inlmath]A[/inlmath]. Na toj pravoj nađem tačku [inlmath]D[/inlmath], takvu da je [inlmath]MQ=DM[/inlmath]. Trebalo bi dokazati [inlmath]FP=AD[/inlmath] ili [inlmath]DP=AF[/inlmath] jer svakako već imamo 2 prava ugla, trebalo bi preko podudarnosti ali nemam ideju koju novu tačku uočiti.

Spusti visine iz [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], i neka su podnožja tih visina [inlmath]A_1[/inlmath] i [inlmath]B_1[/inlmath]. Posmatraj trouglove [inlmath]\triangle ABB_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle MBQ[/inlmath] i slično na drugoj strani. Mislim da bi sada mogao sam da završiš zadatak.

A možeš i izraziti [inlmath]MP[/inlmath] kao [inlmath]MB\sin\alpha[/inlmath], isto tako i [inlmath]MQ[/inlmath] kao [inlmath]MA\sin\alpha[/inlmath] (pri čemu je [inlmath]\alpha=\angle BAC=\angle ABC[/inlmath]), odakle je zbir [inlmath]MP+MQ[/inlmath] jednak [inlmath]AB\sin\alpha[/inlmath] (tj. jednak visini iz temena [inlmath]A[/inlmath], iliti visini iz temena [inlmath]B[/inlmath], što si i ti zaključio), što znači da ne zavisi od položaja tačke [inlmath]M[/inlmath], već isključivo od elemenata trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath].

Ako želiš da privedeš kraju ovaj svoj način (mada mi se čini nešto komplikovanijim),

ognjentesic je napisao:Ja bih taj presek označio sa [inlmath]F[/inlmath]. Dalje napravio bih pravu od visine [inlmath]MP[/inlmath] tj produžio bih je prema [inlmath]A[/inlmath]. Na toj pravoj nađem tačku [inlmath]D[/inlmath], takvu da je [inlmath]MQ=DM[/inlmath]. Trebalo bi dokazati [inlmath]FP=AD[/inlmath] ili [inlmath]DP=AF[/inlmath] jer svakako već imamo 2 prava ugla, trebalo bi preko podudarnosti ali nemam ideju koju novu tačku uočiti.

da, može preko podudarnosti trouglova – uglovi [inlmath]\angle AMD[/inlmath] i [inlmath]\angle BMP[/inlmath] su jednaki (unakrsni uglovi), a takođe i uglovi [inlmath]\angle BMP[/inlmath] i [inlmath]\angle AMQ[/inlmath] su jednaki (na osnovu sličnosti trouglova [inlmath]\triangle BMP[/inlmath] i [inlmath]\triangle AMQ[/inlmath]), odakle sledi [inlmath]\angle AMD=\angle AMQ[/inlmath], odakle, opet, sledi podudarnost trouglova [inlmath]\triangle AMD[/inlmath] i [inlmath]\triangle AMQ[/inlmath] (stav SUS), odatle da je [inlmath]\angle MDA[/inlmath] prav ugao, a odatle da je [inlmath]AFPD[/inlmath] pravougaonik (što znači i upravo ono što si hteo dokazati – da je [inlmath]FP=AD[/inlmath] i [inlmath]DP=AF[/inlmath]).

Hvala obojici za odlične ideje. Shvatio sam.