MATEMANIJA

Neka je ܵ[inlmath]S[/inlmath] centar opisanog kruga oko oštrouglog [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], [inlmath]AC>BC[/inlmath]. Simetrala ugla [inlmath]CAB[/inlmath] seče stranicu [inlmath]BC[/inlmath] u tački [inlmath]D[/inlmath], a prava koja sadrži teme [inlmath]B[/inlmath] i normalna je na pravu [inlmath]AD[/inlmath], seče pravu [inlmath]AS[/inlmath] ܵu tački [inlmath]E[/inlmath]. Dokazati da je četvorougao [inlmath]ABDE[/inlmath] tetivni.
Stvarno nemam ideju od čega da počnem, pa bar ako ima neko smernice.


Pretpostavljam da bi trebalo pokazati da su neka 2 ugla nad istom tetivom jednaki (verovatno podudarnost), pa da je zato četvorougao tetivan, ali nisam siguran.

Da, ideja ti je dobra. Evo mali hint – dokaži da su uglovi [inlmath]\angle DAE[/inlmath] i [inlmath]\angle DBE[/inlmath] jednaki, izrazivši svaki od njih preko uglova trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath].

Ne tako teško sam dobio [inlmath]\angle DBE=\beta-90^\circ+\frac{\alpha}{2}[/inlmath], ali imam problem sa [inlmath]\angle DAE[/inlmath]. Da li bi trebalo uvesti neku dodatnu tačku za izračunavanje ovog ugla?

Na osnovu odnosa periferijskog i centralnog ugla imamo [inlmath]\angle ASB=2\gamma[/inlmath]. Ako trougao [inlmath]\triangle ASB[/inlmath] podelimo visinom spuštenom iz temena [inlmath]S[/inlmath], dobićemo dva međusobno podudarna pravoula trougla, [inlmath]\triangle ASP[/inlmath] i [inlmath]\triangle BSP[/inlmath], gde je [inlmath]P[/inlmath] podnožje visine iz temena [inlmath]S[/inlmath] (tj. sredina osnovice [inlmath]AB[/inlmath]). Ugao [inlmath]\angle ASP[/inlmath] jednak je polovini ugla [inlmath]\angle ASB[/inlmath], što znači da je [inlmath]\angle ASP=\gamma[/inlmath].
Pošto je [inlmath]\angle PAS=90^\circ-\angle ASP=90^\circ-\gamma[/inlmath], a [inlmath]\angle DAE=\angle PAS-\frac{\alpha}{2}[/inlmath], sledi [inlmath]\angle DAE=90^\circ-\gamma-\frac{\alpha}{2}[/inlmath]. Naravno, ostalo je još samo uvrstiti [inlmath]\gamma=180^\circ-\alpha-\beta[/inlmath].

Hvala. Sad mi je jasno.

Nema na čemu. Neznatno pojednostavljenje gornjeg postupka (malopre sam se toga setio) – može i bez uvođenja tačke [inlmath]P[/inlmath]. Iz [inlmath]\angle BAS+\angle ABS+\angle ASB=180^\circ[/inlmath], kao i [inlmath]\angle BAS=\angle ABS[/inlmath], možemo odmah zaključiti da je [inlmath]\angle BAS=90^\circ-\frac{1}{2}\angle ASB=90^\circ-\gamma[/inlmath].
[inlmath]\angle DAE=\angle BAS-\frac{\alpha}{2}=\cdots[/inlmath]