MATEMANIJA

Tekst zadatka: Na osnovici jednakokrakog trougla odrediti tačku, tako da razlika njenih rastojanja od krakova tog trougla bude jednaka datoj duži.

Rešenje: Neka je [inlmath]ABC[/inlmath] trougao u kom je [inlmath]AB=AC[/inlmath]. Na visini [inlmath]BD[/inlmath] odredimo tačku [inlmath]E[/inlmath] tako da je [inlmath]ED=d[/inlmath] gde je [inlmath]d[/inlmath] data duž. Kroz [inlmath]E[/inlmath] konstruišemo pravu paralelnu sa [inlmath]AC[/inlmath] i dobijemo JKK trougao [inlmath]A_1BC_1[/inlmath]. Podnožje [inlmath]F[/inlmath] normale iz [inlmath]A_1[/inlmath] na [inlmath]BC[/inlmath] je tražena tačka.

Imam problem kako da dokažem da je baš to tražena tačka?

Uspeo sam da rešim.

Dovoljno je dokazati da su trouglovi [inlmath]\triangle A_1F_1F[/inlmath] i [inlmath]\triangle FGA_1[/inlmath] podudarni, odakle sledi da je [inlmath]FF_1=FG[/inlmath], na osnovu čega zaključujemo da je [inlmath]F[/inlmath] tražena tačka.

Jedan dosta manje elegantan način od ponuđenog, ali može da posluži ako se ne setimo te ideje:

Obeležimo sa [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] podnožja normala iz tražene tačke [inlmath]F[/inlmath] na krake [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath], respektivno. Tada će važiti [inlmath]MF=BF\sin\alpha[/inlmath] i [inlmath]NF=CF\sin\alpha[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha=\angle CBA=\angle BCA[/inlmath] (slično kao u ovom zadatku). Odatle za traženo rastojanje [inlmath]d[/inlmath] imamo:
[dispmath]d=|NF-MF|=|CF-BF|\sin\alpha[/dispmath] Uzmimo da je [inlmath]BF<CF[/inlmath] (ovaj zadatak ima dva međusobno simetrična rešenja, drugo rešenje ćemo imati za [inlmath]BF>CF[/inlmath]).

Pošto je [inlmath]\sin\alpha=\frac{h_B}{a}[/inlmath] ([inlmath]h_B[/inlmath] je visina iz temena [inlmath]B[/inlmath] a [inlmath]a[/inlmath] je osnovica [inlmath]BC[/inlmath]), sledi
[dispmath]d=(CF-BF)\frac{h_B}{a}\quad\overset{BF=a-CF}{=\!=\!=\!\Longrightarrow}\quad d=(2CF-a)\frac{h_B}{a}[/dispmath] Rešavanjem po [inlmath]CF[/inlmath], dobije se
[dispmath]CF=a\frac{d+h_B}{2h_B}[/dispmath] a odatle možemo postaviti proporciju
[dispmath]CF:a=(d+h_B):(2h_B)[/dispmath] Proporcija se u „geometrijskom svetu“ lako predstavlja preko sličnih trouglova. Znači, prvo konstruišemo pravougli trougao čija je jedna kateta [inlmath]2h_B[/inlmath] a druga [inlmath]d+h_B[/inlmath]. Zatim konstruišemo njemu sličan pravougli trougao (dakle, s jednakim uglovima) kod kojeg će dužinu [inlmath]a[/inlmath] imati ona kateta koja odgovara kateti prvog trougla čija je dužina [inlmath]2h_B[/inlmath]. Nakon konstrukcije drugog pravouglog trougla, njegova druga kateta (ona koja odgovara kateti [inlmath]d+h_B[/inlmath] prvog trougla) imaće traženu dužinu [inlmath]CF[/inlmath]. Ostalo je još samo tu dužinu preneti na osnovicu [inlmath]BC[/inlmath].