MATEMANIJA

Pozdrav. Zadatak glasi: Spoljasnost kvadra od belog stiropora dimenzija [inlmath]abc[/inlmath] ofarbana je crvenom bojom. Kvadar je izrezan na jedinicne kocke. Odrediti broj kockica sa [inlmath]3[/inlmath] crvene strane, sa [inlmath]2[/inlmath] crvene strane, sa jednom crvenom stranom i broj belih kockica.
Iskreno nemam ideju, verovatno da treba naci povrsinu kvadra iz raspolozivih podataka i onda je podeliti sa nekom od velicina kako bi se dobio broj trazenih kocki. Unapred hvala.

Pre nego što krenem da pišem, pretpostaviću da ni jedna od ove tri dimenzije ([inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]) nije jednaka jedinici. U tom slučaju bismo imali i kocke sa [inlmath]4[/inlmath] obojene strane, ali ne bismo imali potpuno bele kocke ili kocke sa samo jednom obojenom stranom.

Kocke sa tri obojene strane su one kocke koje sadrže temena polaznog kvadra. Bez obzira na vrednosti [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] njih će uvek biti [inlmath]8[/inlmath].

Kocke sa dve obojene strane su kocke koje se nalaze duž ivica polaznog kvadra, ali ne sadrže njegova temena. Posmatrajmo ivicu čija je dužina [inlmath]a[/inlmath]. Duž ove ivice će se nalaziti ukupno [inlmath]a[/inlmath] kocki, ali će "prva" i "poslednja" (one koje sadrže i temena) imati tri obojene strane, pa njih ovde nećemo da računamo. Dakle, duž jedne ivice [inlmath]a[/inlmath] imaćemo [inlmath](a-2)[/inlmath] kocki sa dve obojene strane. Ovaj broj treba pomnožiti sa [inlmath]4[/inlmath] (pošto imamo četiri ivice dužine [inlmath]a[/inlmath] u našem kvadru). Istu logiku primenjujemo i za ivice [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], i tako dodijamo ukupan broj kocki sa dve obojene strane.

Kocke sa jednom obojenom stranom su one kocke koje sadrže deo strane kvadra, ali ne sadrže ni ivicu ni teme kvadra. Posmatrajmo stranu kvadra koja je pravougaonik sa stranicama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Delimo taj pravougaonik na kvadrate i brojimo one kvadrate koji ne sadrže delove stranica pravougaonika. Ukupno imamo [inlmath]a\cdot b[/inlmath] kvadrata. Od toga, [inlmath]2\cdot a[/inlmath] kvadrata dodiruju jednu od stranica [inlmath]a[/inlmath], a [inlmath]2\cdot b[/inlmath] kvadrata dodiruju jednu od stranica [inlmath]b[/inlmath]. Na prvi pogled, broj kvadrata koji nam treba bi bio [inlmath]ab-2(a+b)[/inlmath], ali treba povesti računa da smo svaki kvadrat koji sadrži teme pravougaonika brojali duplo, pa je pravi broj kvadrata koji ne dodiruju nijednu stranicu pravougaonika [inlmath]ab-2(a+b)+4[/inlmath]. Kada ovo malo sredimo, vidimo da je ovaj broj jednak [inlmath](a-2)(b-2)[/inlmath]. Ovo treba pomnožiti sa dva pošto imamo dve strane kvadra koje su pravougaonici dimenzija [inlmath]ab[/inlmath], a onda sličnu logiku primeniti i na strane [inlmath]bc[/inlmath] i [inlmath]ac[/inlmath].

Potpuno bele kocke su one kocke koje nemaju ni jednu zajedničku stranu sa stranama polaznog kvadra. Možeš da posmatraš analogno sa prethodnom grupom kocki (one sa jednom obojenom stranom), samo da dodaš i treću dimenziju. A možeš i da zamisliš novi kvadar koji ćeš da dobiješ tako što ćeš da "oljuštiš" polazni kvadar skidajući mu sa svake strane po jednu kocku. Kako god da radiš, ukupan broj neobojenih kocki bi trebalo da bude [inlmath](a-2)(b-2)(c-2)[/inlmath].

Inače, možda možeš donekle da skratiš ceo postupak. Ukupan broj kocki koji dobiješ iz polaznog kvadra mora da bude [inlmath]a\cdot b\cdot c[/inlmath]. Imaš ukupno četiri "kategorije" kocki. Kada odrediš vrednosti za tri od te četiri kategorije (bilo koje tri), lako možeš da odrediš i četvrtu.