MATEMANIJA

Zadatak. Neka je dat četvorougao [inlmath]ABCD[/inlmath], i neka tačke [inlmath]E,F,G,H[/inlmath] leže na stranicama [inlmath]BC,CD,DA,AB[/inlmath] respektivno tako da važi [inlmath]\frac{BE}{EC}=\frac{CF}{FD}=\frac{DG}{GA}=\frac{AH}{HB}[/inlmath]. Ako je [inlmath]A_1=\text{Površina}(\triangle GAH)[/inlmath], [inlmath]A_2=\text{Površina}(\triangle BEH)[/inlmath], [inlmath]A_3=\text{Površina}(\triangle FEC)[/inlmath], [inlmath]A_4=\text{Površina}(\triangle DGF)[/inlmath], dokazati da je [inlmath]A_1+A_3=A_2+A_4[/inlmath].

Moja ideja bi bila da se prvo svaki od osam odsečaka [inlmath]BE,EC,CF,FD,DG,GA,AH,HB[/inlmath] izrazi preko one stranice četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] kojoj pripada i koeficijenta proporcionalnosti, a zatim da se primenom kosinusne teoreme odrede stranice ova četiri trougla koje ne leže na stranicama četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath]. Potom upotrebom Heronove formule moguće je izračunati površine trouglova. Za dokazivanje jednakosti zbira površina još bi bila potrebna i činjenica da je zbir unutrašnjih uglova četvorougla jednak [inlmath]360^\circ[/inlmath]. Međutim problem kod ovog načina je to što se dobijaju dosta komplikovani izrazi, pa me interesuje da li neko možda može da predloži neki drugačiji pristup ovom zadatku.

Neka je [inlmath]\frac{AH}{AB}=k[/inlmath]. Tada je [inlmath]P_{\triangle GAH}=k(1-k)P_{\triangle ABD}[/inlmath] (koristeci formulu za povrsinu trougla preko sinusa ugla). Ako bi se nastavilo u istom manevru i uzimajuci u obzir da je [inlmath]P_{\triangle ABD}+P_{\triangle CBD}=P_{\triangle ABC}+P_{\triangle ACD}[/inlmath] verujem da bi se mogao dobiti trazeni zakljucak.

Elegantan dokaz. Hvala!