MATEMANIJA

Zadatak. Dat je tangentni četvorougao [inlmath]ABCD[/inlmath]. Neka je tačka [inlmath]I[/inlmath] centar upisane kružnice u četvorougao, [inlmath]k_1[/inlmath] - kružnica određena tačkama [inlmath]A,B,I[/inlmath], [inlmath]k_2[/inlmath] - kružnica određena tačkama [inlmath]B,C,I[/inlmath], [inlmath]k_3[/inlmath] - kružnica određena tačkama [inlmath]C,D,I[/inlmath], [inlmath]k_4[/inlmath] - kružnica određena tačkama [inlmath]D,A,I[/inlmath]. Neka su tačke [inlmath]L,K,N,M[/inlmath] centri kružnica [inlmath]k_1,k_2,k_3,k_4[/inlmath] redom. Dokazati da su tačke [inlmath]L,K,N,M[/inlmath] konciklične.

GeoGebra aplet koji demonstrira ovaj zadatak može se naći ovde. Moja ideja je da se primeni teorema koja glasi: "Neka se duži [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] seku u tački [inlmath]M[/inlmath]. Tačke [inlmath]A,B,C,D[/inlmath] su konciklične ako i samo ako je [inlmath]MA\cdot MB=MC\cdot MD[/inlmath]". Međutim da bi se ova teorema primenila na konkretno ovaj zadatak potrebno je dokazati da se duži [inlmath]MK[/inlmath] i [inlmath]NL[/inlmath] seku u tački [inlmath]I[/inlmath], kao i to da su trouglovi [inlmath]\triangle IML[/inlmath] i [inlmath]\triangle IKN[/inlmath] slični. Smernice kako bi se ove dve tvrdnje mogle dokazati su dobrodošle.

Baš zanimljivo ovo zadače, si i njega sâm smislio?

Ja bih prvo dokazao da su tačke [inlmath]K[/inlmath], [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath] kolinearne (analogno se zatim dokazuje i za [inlmath]L[/inlmath], [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath], odakle sledi i da se [inlmath]KM[/inlmath] i [inlmath]LN[/inlmath] seku u tački [inlmath]I[/inlmath]).
A kolinearnost [inlmath]K[/inlmath], [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath] može se dokazati tako što se pretpostavi da je [inlmath]KIMN[/inlmath] četvorougao, pa se, sabirajući njegove uglove, dođe do toga da je [inlmath]\angle KIM=180^\circ[/inlmath], a odatle i da su navedene tri tačke kolinearne. Pri tome se koristi da je

• [inlmath]\angle IKN=\frac{1}{2}\angle IKC[/inlmath] (zbog podudarnosti trouglova [inlmath]\triangle IKN[/inlmath] i [inlmath]\triangle CKN[/inlmath]);
• [inlmath]\angle IKC=2\angle IBC[/inlmath] (odnos centralnog i periferijskog ugla nad istom tetivom);
• [inlmath]\angle IBC=\frac{1}{2}\angle ABC[/inlmath] (jer je [inlmath]BI[/inlmath] simetrala ugla [inlmath]\angle ABC[/inlmath]).

Slično i za ostale uglove „četvorougla“ [inlmath]KIMN[/inlmath].

Nakon što je dokazano da se [inlmath]KM[/inlmath] i [inlmath]LN[/inlmath] seku u tački [inlmath]I[/inlmath], lako se dokazuje i da je [inlmath]\angle IKL=\angle INM[/inlmath] (takođe korišćenjem odnosa centralnog i periferijskog ugla, kao i činjenicom da je [inlmath]CI[/inlmath] simetrala ugla [inlmath]\angle BCD[/inlmath]), a iz jednakosti dva para uglova trouglova [inlmath]\triangle IKL[/inlmath] i [inlmath]\triangle INM[/inlmath] sledi jednakost i trećeg para, tj. [inlmath]\angle KLI=\angle NMI[/inlmath]. Odatle je [inlmath]\angle KLN=\angle NMK[/inlmath], a pošto su to jednaki uglovi nad istom duži [inlmath]NK[/inlmath], sledi da krajnje tačke te duži ([inlmath]N[/inlmath] i [inlmath]K[/inlmath]) i temena oba ta ugla ([inlmath]L[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath]), moraju pripadati istoj kružnici.

Da, sam sam ga skraftovao pomoću GeoGebre.