-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
primus
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Utorak, 03. Novembar 2020, 10:49
Dobra je ideja. Na osnovu same definicije zlatne proporcije važi:
[dispmath]\frac{CE}{EB}=\frac{CB}{CE}=\varphi[/dispmath] a pošto uslov zadatka glasi
[dispmath]\frac{CE}{CD}=\varphi[/dispmath] sledi da je [inlmath]CD=EB[/inlmath]. Analogno se dokazuje i [inlmath]CG=FA[/inlmath].
Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle FEC[/inlmath], kao i sličnosti trouglova [inlmath]\triangle FEC[/inlmath] i [inlmath]\triangle GDC[/inlmath] sledi [inlmath]AB\parallel FE\parallel GD[/inlmath], a odatle, uz date uslove [inlmath]FJ\parallel CB[/inlmath] i [inlmath]EK\parallel CA[/inlmath], i podudarnost trouglova [inlmath]\triangle AJF[/inlmath], [inlmath]\triangle KBE[/inlmath] i [inlmath]\triangle GDC[/inlmath].
Iz jednakosti i paralelnosti [inlmath]AJ[/inlmath] i [inlmath]GD[/inlmath] sledi da je [inlmath]AJDG[/inlmath] paralelogram, a odatle sledi i [inlmath]JD\parallel AC[/inlmath]. Analogno se dokazuje i [inlmath]KG\parallel BC[/inlmath].
Na osnovu paralelograma [inlmath]CDMG[/inlmath] zaključujemo [inlmath]\triangle DGM\cong\triangle GDC[/inlmath], tj. [inlmath]\triangle DGM[/inlmath] je podudaran s trouglovima [inlmath]\triangle AJF[/inlmath], [inlmath]\triangle KBE[/inlmath] i [inlmath]\triangle GDC[/inlmath].
Nađimo sada odnos odgovarajućih dužina stranica trougla [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] i trougla [inlmath]\triangle DGM[/inlmath]. Pošto je [inlmath]GM=CD[/inlmath] i [inlmath]GK=CE[/inlmath], sledi da je [inlmath]\frac{GK}{GM}=\frac{CE}{CD}=\varphi[/inlmath], a pošto je [inlmath]\frac{GK}{GM}=\varphi[/inlmath] sledi i da je [inlmath]\frac{GM}{MK}=\varphi[/inlmath] (na osnovu definicije zlatne proporcije), što znači da stranice trougla [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] stoje prema odgovarajućim stranicama trougla [inlmath]\triangle DGM[/inlmath] u odnosu [inlmath]1:\varphi[/inlmath].
Odnos odgovarajućih dužina stranica trougla [inlmath]\triangle NLM[/inlmath] i trougla [inlmath]\triangle DGM[/inlmath]: Kako je [inlmath]\frac{GD}{JK}=\varphi[/inlmath] (zbog malopre pokazane proporcije stranica trouglova [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] i [inlmath]\triangle DGM[/inlmath]), kao i [inlmath]GD=FN[/inlmath] i [inlmath]JK=FL[/inlmath], sledi [inlmath]\frac{FN}{FL}=\varphi[/inlmath], odatle [inlmath]\frac{FL}{LN}=\varphi[/inlmath] (na osnovu definicije zlatne proporcije), a odatle [inlmath]\frac{JK}{LN}=\varphi[/inlmath], što znači da stranice trougla [inlmath]\triangle NLM[/inlmath] stoje prema odgovarajućim stranicama trougla [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] u odnosu [inlmath]1:\varphi[/inlmath].
Za odnos površina posmatranih trouglova ne treba nam Heron, dovoljno je da iskoristimo činjenicu da se površine dva slična trougla odnose kao kvadrati njihovih odgovarajućih stranica. Dakle, [inlmath]P_{\triangle JKM}:P_{\triangle DGM}=1:\varphi^2[/inlmath] i [inlmath]P_{\triangle NLM}:P_{\triangle JKM}=1:\varphi^2[/inlmath]:
[dispmath]\frac{P_{DGLN}}{P_{\triangle NLM}+P_{\triangle JKM}}=\frac{P_{\triangle DGM}-P_{\triangle NLM}}{P_{\triangle NLM}+P_{\triangle JKM}}=\frac{\varphi^2\cancel{P_{\triangle JKM}}-\frac{1}{\varphi^2}\cancel{P_{\triangle JKM}}}{\frac{1}{\varphi^2}\cancel{P_{\triangle JKM}}+\cancel{P_{\triangle JKM}}}=\varphi^2-1=\varphi[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain