MATEMANIJA

Zadatak. Neka je dat trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], neka se tačke [inlmath]D,E[/inlmath] nalaze na stranici [inlmath]BC[/inlmath], tačke [inlmath]G,F[/inlmath] na stranici [inlmath]AC[/inlmath] i tačke [inlmath]J,K[/inlmath] na stranici [inlmath]AB[/inlmath] tako da važi: [inlmath]\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CE}=\frac{CF}{CG}=\frac{CA}{CF}=\varphi[/inlmath] i [inlmath]FJ\parallel CB[/inlmath], [inlmath]EK\parallel CA[/inlmath]. Dokazati da je: [inlmath]\Large{\frac{P_{□DGLN}}{P_{\triangle LMN}+P_{\triangle JKM}}=\varphi}[/inlmath]

Geogebra aplet koji demonstrira ovaj zadatak može se naći ovde. Moja ideja je da se [inlmath]P_{□DGLN}[/inlmath] izrazi kao [inlmath]P_{\triangle DGM}-P_{\triangle LMN}[/inlmath] i da se pokaže da važe sledeće jednakosti: [inlmath]\frac{JM}{MN}=\frac{MK}{LM}=\frac{JK}{LN}=\varphi[/inlmath] i [inlmath]\frac{MG}{MK}=\frac{MD}{MJ}=\frac{DG}{JK}=\varphi[/inlmath] i da se potom pomoću Heronove formule izračunaju površine [inlmath]P_{\triangle DGM},P_{\triangle LMN},P_{\triangle JKM}[/inlmath], međutim ne znam kako bi se navedeni odnosi stranica mogli dokazati. Moja pretpostavka je da bi se nekako trebala upotrebiti Talesova teorema.

Dobra je ideja. Na osnovu same definicije zlatne proporcije važi:
[dispmath]\frac{CE}{EB}=\frac{CB}{CE}=\varphi[/dispmath] a pošto uslov zadatka glasi
[dispmath]\frac{CE}{CD}=\varphi[/dispmath] sledi da je [inlmath]CD=EB[/inlmath]. Analogno se dokazuje i [inlmath]CG=FA[/inlmath].

Iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle FEC[/inlmath], kao i sličnosti trouglova [inlmath]\triangle FEC[/inlmath] i [inlmath]\triangle GDC[/inlmath] sledi [inlmath]AB\parallel FE\parallel GD[/inlmath], a odatle, uz date uslove [inlmath]FJ\parallel CB[/inlmath] i [inlmath]EK\parallel CA[/inlmath], i podudarnost trouglova [inlmath]\triangle AJF[/inlmath], [inlmath]\triangle KBE[/inlmath] i [inlmath]\triangle GDC[/inlmath].
Iz jednakosti i paralelnosti [inlmath]AJ[/inlmath] i [inlmath]GD[/inlmath] sledi da je [inlmath]AJDG[/inlmath] paralelogram, a odatle sledi i [inlmath]JD\parallel AC[/inlmath]. Analogno se dokazuje i [inlmath]KG\parallel BC[/inlmath].
Na osnovu paralelograma [inlmath]CDMG[/inlmath] zaključujemo [inlmath]\triangle DGM\cong\triangle GDC[/inlmath], tj. [inlmath]\triangle DGM[/inlmath] je podudaran s trouglovima [inlmath]\triangle AJF[/inlmath], [inlmath]\triangle KBE[/inlmath] i [inlmath]\triangle GDC[/inlmath].
Nađimo sada odnos odgovarajućih dužina stranica trougla [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] i trougla [inlmath]\triangle DGM[/inlmath]. Pošto je [inlmath]GM=CD[/inlmath] i [inlmath]GK=CE[/inlmath], sledi da je [inlmath]\frac{GK}{GM}=\frac{CE}{CD}=\varphi[/inlmath], a pošto je [inlmath]\frac{GK}{GM}=\varphi[/inlmath] sledi i da je [inlmath]\frac{GM}{MK}=\varphi[/inlmath] (na osnovu definicije zlatne proporcije), što znači da stranice trougla [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] stoje prema odgovarajućim stranicama trougla [inlmath]\triangle DGM[/inlmath] u odnosu [inlmath]1:\varphi[/inlmath].
Odnos odgovarajućih dužina stranica trougla [inlmath]\triangle NLM[/inlmath] i trougla [inlmath]\triangle DGM[/inlmath]: Kako je [inlmath]\frac{GD}{JK}=\varphi[/inlmath] (zbog malopre pokazane proporcije stranica trouglova [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] i [inlmath]\triangle DGM[/inlmath]), kao i [inlmath]GD=FN[/inlmath] i [inlmath]JK=FL[/inlmath], sledi [inlmath]\frac{FN}{FL}=\varphi[/inlmath], odatle [inlmath]\frac{FL}{LN}=\varphi[/inlmath] (na osnovu definicije zlatne proporcije), a odatle [inlmath]\frac{JK}{LN}=\varphi[/inlmath], što znači da stranice trougla [inlmath]\triangle NLM[/inlmath] stoje prema odgovarajućim stranicama trougla [inlmath]\triangle JKM[/inlmath] u odnosu [inlmath]1:\varphi[/inlmath].

Za odnos površina posmatranih trouglova ne treba nam Heron, dovoljno je da iskoristimo činjenicu da se površine dva slična trougla odnose kao kvadrati njihovih odgovarajućih stranica. Dakle, [inlmath]P_{\triangle JKM}:P_{\triangle DGM}=1:\varphi^2[/inlmath] i [inlmath]P_{\triangle NLM}:P_{\triangle JKM}=1:\varphi^2[/inlmath]:
[dispmath]\frac{P_{DGLN}}{P_{\triangle NLM}+P_{\triangle JKM}}=\frac{P_{\triangle DGM}-P_{\triangle NLM}}{P_{\triangle NLM}+P_{\triangle JKM}}=\frac{\varphi^2\cancel{P_{\triangle JKM}}-\frac{1}{\varphi^2}\cancel{P_{\triangle JKM}}}{\frac{1}{\varphi^2}\cancel{P_{\triangle JKM}}+\cancel{P_{\triangle JKM}}}=\varphi^2-1=\varphi[/dispmath]