MATEMANIJA

1. Zadan je paralelogram [inlmath]ABCD[/inlmath]. Nad stranicama [inlmath]AB,\:BC,\:CD,\:DA[/inlmath] konstruisani su kvadrati koji leze izvan paralelograma. Centar paralelograma je srediste bilo koje njegove stranice i centar kvadrata konstruisanog nad tom stranicom su vrhovi trougla.
a) dokazati da su svi takvi trouglovi podudarni
b) dokazati da je cetverougao koji cine centri tih kvadrata kvadrat.

2. U ugao [inlmath]ABC[/inlmath] upisane su dvije kruznice [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] koje nemaju zajednickih tacaka. Kruznica [inlmath]k_1[/inlmath] dira krak [inlmath]BA[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath] a kruznica [inlmath]k_2[/inlmath] dira krak [inlmath]BC[/inlmath] u tacki [inlmath]P[/inlmath]. Dokazati da pravac kroz tacke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]P[/inlmath] odsjeca na [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] tetive jednakih duzina.

3. Na poluprecniku [inlmath]AB[/inlmath] kruznice [inlmath]k(0,r)[/inlmath] dana je tacka [inlmath]C[/inlmath]. Nad [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] kao precnicima su konstruisane kruznice [inlmath]k_1(s_1,r_1)[/inlmath] i [inlmath]k_2(s_2,k_2)[/inlmath]. Proizvoljna prava [inlmath]p[/inlmath] kroz tacku [inlmath]C[/inlmath] sijece kruznicu [inlmath]k[/inlmath] u tackama [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath], kruzniccu [inlmath]k_1[/inlmath] u tackama [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] a kruznicu [inlmath]k_2[/inlmath] u tackama [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Dokazati da je [inlmath]MP=NQ[/inlmath].

Moze li pomoc pri rjesavanju ovih zadataka

matematicarka je napisao:2. U ugao [inlmath]ABC[/inlmath] upisane su dvije kruznice [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] koje nemaju zajednickih tacaka. Kruznica [inlmath]k_1[/inlmath] dira krak [inlmath]BA[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath] a kruznica [inlmath]k_2[/inlmath] dira krak [inlmath]BC[/inlmath] u tacki [inlmath]P[/inlmath]. Dokazati da pravac kroz tacke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]P[/inlmath] odsjeca na [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] tetive jednakih duzina.

[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\overline{MN}=2r_1\cos\angle O_1MN \\
\overline{PQ}=2r_2\cos\angle O_2PQ
\end{array}\right\}\quad\left(1\right)[/dispmath]
[dispmath]\left.\begin{array}{lll}
\angle O_1MN=\angle BMP-\frac{\pi}{2} & \Rightarrow & \cos\angle O_1MN=\sin\angle BMP \\
\angle O_2PQ=\frac{\pi}{2}-\angle BPM & \Rightarrow & \cos\angle O_2PQ=\sin\angle BPM
\end{array}\right\}\quad\left(2\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(1\right),\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad\left.\begin{array}{l}
\overline{MN}=2r_1\sin\angle BMP \\
\overline{PQ}=2r_2\sin\angle BPM
\end{array}\right\}\quad\left(3\right)[/dispmath]
[dispmath]\triangle MBP\quad\Rightarrow\quad\frac{\overline{BM}}{\sin\angle BPM}=\frac{\overline{BP}}{\sin\angle BMP}\quad\Rightarrow\quad\frac{\overline{BM}}{\overline{BP}}=\frac{\sin\angle BPM}{\sin\angle BMP}\quad\left(4\right)[/dispmath]
[dispmath]\overline{BM}:\overline{BP}=r_1:r_2\quad\left(5\right)[/dispmath](Ovo se lako dokazuje, ne bih tim dokazom da prenatrpavam postojeću sliku i da joj time narušavam preglednost.)

[dispmath]\left(4\right),\left(5\right)\quad\Rightarrow\quad\frac{r_1}{r_2}=\frac{\sin\angle BPM}{\sin\angle BMP}\quad\Rightarrow\quad r_1\sin\angle BMP=r_2\sin\angle BPM\quad\left(6\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(3\right),\left(6\right)\quad\Rightarrow\quad\overline{MN}=\overline{PQ}[/dispmath]

---

Što se tiče preostala dva zadatka,

matematicarka je napisao:1. Zadan je paralelogram [inlmath]ABCD[/inlmath]. Nad stranicama [inlmath]AB,\:BC,\:CD,\:DA[/inlmath] konstruisani su kvadrati koji leze izvan paralelograma. Centar paralelograma je srediste bilo koje njegove stranice i centar kvadrata konstruisanog nad tom stranicom su vrhovi trougla.
a) dokazati da su svi takvi trouglovi podudarni
b) dokazati da je cetverougao koji cine centri tih kvadrata kvadrat.

ne mogu da uhvatim smisao ove crveno obeležene rečenice. Može li pojašnjenje?

matematicarka je napisao:3. Na poluprecniku [inlmath]AB[/inlmath] kruznice [inlmath]k(0,r)[/inlmath] dana je tacka [inlmath]C[/inlmath]. Nad [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] kao precnicima su konstruisane kruznice [inlmath]k_1(s_1,r_1)[/inlmath] i [inlmath]k_2(s_2,k_2)[/inlmath]. Proizvoljna prava [inlmath]p[/inlmath] kroz tacku [inlmath]C[/inlmath] sijece kruznicu [inlmath]k[/inlmath] u tackama [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath], kruzniccu [inlmath]k_1[/inlmath] u tackama [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] a kruznicu [inlmath]k_2[/inlmath] u tackama [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Dokazati da je [inlmath]MP=NQ[/inlmath].

Pretpostavljam da oznake u zagradi označavaju, redom, centar i poluprečnik. Ali, ako je [inlmath]O[/inlmath] centar kružnice [inlmath]k[/inlmath], onda poluprečnik te kružnice ne može biti [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], već mu jedna krajnja tačka mora biti centar kružnice, [inlmath]O[/inlmath].

Imam neku pretpostavku kako bi ovi tekstovi zapravo trebalo da glase, ali, da ne bismo nagađali, najbolje da lepo napišeš tačan tekst...

Tekstove sam napisala tacno onako kako sam dobila zadatke na ispitu tako da nemam neku predstavu o tome koji bi zapravo bio ispravan tekst jer ni ja ovo nisam bas mogla razumjeti. Medjutim, mislim da kod ovog zadatka se ova recenica :
(Centar paralelograma je srediste bilo koje njegove stranice i centar kvadrata konstruisanog nad tom stranicom su vrhovi trougla.)
odnosi na to da se moze uzeti bilo koja stranica pri rjesavanju i spojiti srediste stranice, paralelograma i kvadrata konstruisanog nad tom stranicom te vjerovatno uporediti taj trougao sa ostalim trouglovima nad dr stranicama i kvadratima (ispravi me ako imas drukcije misljenje) jer stvarno ne razumijem ovo

To je i moja pretpostavka, tj. da bi sporna rečenica trebalo da glasi

Centar paralelograma, srediste bilo koje njegove stranice i centar kvadrata konstruisanog nad tom stranicom su vrhovi trougla.

Tada već ima smisla, a i zadatak se onda vrlo lako rešava (da sad ne ispisujem ceo postupak), tako što se prvo za duž koja spaja središte npr. duže stranice paralelograma i centar kvadrata nad tom stranicom pokaže da je jednaka duži koja spaja centar paralelograma i središte neke od njegovih susednih (kraćih) stranica; isto tako se, zatim, pokaže da je duž koja spaja centar paralelograma i središte neke od njegovih dužih stranica jednaka duži koja spaja središte neke od njegovih susednih (kraćih) sranica i centar kvadrata nad tom stranicom; pokaže se, zatim, i da je ugao između prethodno posmatrane dve duži čija je zajednička tačka na dužoj stranici paralelograma jednak uglu između prethodno posmatrane dve duži čija je zajednička tačka na susednoj (kraćoj) stranici paralelograma (to su uglovi s normalnim kracima). Na osnovu SUS sledi podudarnost posmatranih trouglova...

Hvala punoo, mislim da cu postupak uspjesno ispisati.
A da li bi kod ovog 3. zadatka u pitanju mogao biti precnik [inlmath]AB[/inlmath] a ne poluprecnik, tako da bi bar malo zadatak imao smisla?

matematicarka je napisao:Hvala punoo, mislim da cu postupak uspjesno ispisati.
A da li bi kod ovog 3. zadatka u pitanju mogao biti precnik [inlmath]AB[/inlmath] a ne poluprecnik, tako da bi bar malo zadatak imao smisla?

Slozio bih se sa tobom. Mislim da vise ima smisla ukoliko bi [inlmath]AB[/inlmath] bio precnik a ne poluprecnik kruznice [inlmath]k[/inlmath]

prvi zadatak pod a) nikako da uradim iako ste dali upute Da li moze neko napisati cijeli postupak

Molim te, nemoj otvarati nove naloge – ako imaš problema s logovanjem na stari, reci i rešićemo to (za takve probleme, uostalom, i postoji ova rubrika).
Jesi li možda zaboravila lozinku starog naloga, ili je neki drugi problem u pitanju?

hm, mislim da je neko iskoristio slican username, ja sa svojim nemam problema pozz

Čini mi se da dosta osoba treba rješenje ovog zadatka, svi polažemo jedan te isti predmet Pa Daniele ako možete da nam ispišete rješenje ovog zadatka bili bismo zahvalni

Evo kopiranog uputstva koje sam prethodno dao, ali ovog puta uz sliku i uz konkretne oznake, tako da će sada možda biti jasnije. Ako nešto ipak bude nerazumljivo, molim te da napišeš koja je tačno rečenica problematična, pa ću je dodatno pojasniti.


Zadatak se rešava tako što se prvo za duž [inlmath]\overline{EP}[/inlmath] pokaže da je jednaka duži [inlmath]\overline{OF}[/inlmath]; isto tako se, zatim, pokaže da je duž [inlmath]\overline{OE}[/inlmath] jednaka duži [inlmath]\overline{FQ}[/inlmath]; pokaže se, zatim, i da je ugao [inlmath]\angle OEP[/inlmath] jednak uglu [inlmath]\angle QFO[/inlmath] (to su uglovi s normalnim kracima). Na osnovu SUS sledi podudarnost trouglova [inlmath]\triangle OEP[/inlmath] i [inlmath]\triangle QFO[/inlmath]. Isto tako se pokazuje i za preostale trouglove...

Pod b) se dokazuje tako što se pokaže da je trougao [inlmath]\triangle POQ[/inlmath] pravougli i jednakokraki, a samim tim će i trouglovi [inlmath]\triangle QOR[/inlmath], [inlmath]\triangle ROS[/inlmath] i [inlmath]\triangle SOP[/inlmath], kao identični njemu, biti pravougli i jednakokraki. Trougao [inlmath]\triangle POQ[/inlmath] je jednakokraki jer je [inlmath]\overline{OP}=\overline{OQ}[/inlmath] (to sledi iz prethodno dokazane podudarnosti trouglova), a pravougli je jer je ugao [inlmath]\angle POQ[/inlmath] prav, budući da je [inlmath]\overline{PE}\perp\overline{OF}\;\land\;\angle EPO=\angle FOQ\;\Rightarrow\;\overline{OP}\perp\overline{OQ}[/inlmath].