MATEMANIJA

Pozdrav,
zadatak glasi: Hipotenuza pravouglog trougla produži se sa obje strane za bližu katetu i krajnje tačke spoje se sa tjemenom pravog ugla. Izračunati ugao između spojnica.

Kada se skicira ovaj zadatak dobiju se zapravo tri trougla, [inlmath]ABC[/inlmath] (početni pravougli trougao), [inlmath]AA_1C[/inlmath] (trougao produžen za katetu [inlmath]b[/inlmath]) i [inlmath]BB_1C[/inlmath] (trougao produžen za katetu [inlmath]a[/inlmath]). Ono što znam da je zbir oštrih uglova u pravouglom trouglu jednak [inlmath]90[/inlmath] i općenito u svakom trouglu da je zbir uglova [inlmath]180[/inlmath] stepeni. Odnosno, trouglovi [inlmath]AA_1C[/inlmath] i [inlmath]BB_1C[/inlmath] su jednakokraki, što znači da moraju imati dva jednaka ugla kod osnovice. Ugao kod vrha [inlmath]A1[/inlmath] i ugao kod vrha [inlmath]C[/inlmath] su jednaki?

Dakle, koriste se teoreme za podudarnost trouglova?

Neka je [inlmath]\angle CAB=\alpha[/inlmath] i [inlmath]\angle ABC=\beta[/inlmath]. Tada je [inlmath]\angle A_1AC=180^\circ-\alpha[/inlmath] i [inlmath]\angle CBB_1=180^\circ-\beta[/inlmath]. Kako su [inlmath]\triangle CA_1A[/inlmath] i [inlmath]\triangle CBB_1[/inlmath] jednakokraki imamo da je [inlmath]2\cdot\angle ACA_1=180^\circ-(180^\circ-\alpha)=\alpha\;\Longrightarrow\;\angle ACA_1=\frac{\alpha}{2}[/inlmath], i [inlmath]2\cdot\angle B_1CB=180^\circ-(180^\circ-\beta)=\beta\;\Longrightarrow\;\angle B_1CB=\frac{\beta}{2}[/inlmath]. Tako da je traženi ugao [inlmath]\angle B_1CA_1=90^\circ+\frac{\alpha+\beta}{2}[/inlmath].