MATEMANIJA

Zadatak glasi:

U trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] tacka [inlmath]O[/inlmath] je centar opisanog kruga, a [inlmath]H[/inlmath] je ortocentar.
[inlmath]A_1[/inlmath], [inlmath]B_1[/inlmath] i [inlmath]C_1[/inlmath] su redom sredista stranica [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath].
[inlmath]A_2[/inlmath], [inlmath]B_2[/inlmath] i [inlmath]C_2[/inlmath] su redom sredista duzi [inlmath]AH[/inlmath], [inlmath]BH[/inlmath] i [inlmath]CH[/inlmath].
Dokazati da se sredista duzi [inlmath]OH[/inlmath], [inlmath]C_1C_2[/inlmath], [inlmath]B_1B_2[/inlmath] i [inlmath]A_1A_2[/inlmath] poklapaju.

Zadatak sam poceo tako sto sam izdvojio 4-ugao [inlmath]C_1B_2C_2B_1[/inlmath] i dokazao da je paralelogram, posto su i [inlmath]C_1B_2[/inlmath] i [inlmath]B_1C_2[/inlmath] srednje linije trouglova sa osnovicom [inlmath]AH[/inlmath], pa su medjusobno paralelne, i jednake polovini [inlmath]AH[/inlmath]. Kako je [inlmath]C_1B_2C_2B_1[/inlmath] paralelogram, dijagonale mu se seku na polovini. Kada primenimo slican postupak, dobicemo da se i [inlmath]A_1A_2[/inlmath] i [inlmath]B_1B_2[/inlmath] i [inlmath]C_1C_2[/inlmath] seku u istoj tacki koja ih i polovi.
Deo zadatka koji ne mogu da resim, kao ni mojih par drugova, je kako dokazati da i [inlmath]OH[/inlmath] ima zajednicko srediste sa preostale tri duzi.
Zamolio bih Vas da u resenju koristite iskljucivo:
podudarnost duzi, uglova i trouglova, svojstvo uglova na transverzali, nejednakost trougla ([inlmath]a+b>c[/inlmath], [inlmath]b+c>a[/inlmath], [inlmath]a+c>b[/inlmath]) i srednja linija trougla, svojstva paralelograma koja se mogu dokazati iz ovoga, i znacajne tacke trougla (ortocentar, centar upisane i opisane kruznice i teziste).
Razlog za iskljucivanje svega ostalog je taj da sam trenutno prvi razred gimnazije i da nista od ostalog nismo obradjivali na casu, tako da nam nije dozvoljeno da koristimo. Naravno, ako preko ovoga sto sam naveo mozete dokazati teoremu, slobodno, ali zapisite i dok toga. Ovo nije domaci, vec priprema za test, tako da bi mi puno znacio odgovor

Hvala u napred!

Prvo se pokaže da je [inlmath]A_1B_2C_1O[/inlmath] paralelogram (što nije teško, [inlmath]A_1B_2\parallel OC_1[/inlmath] i [inlmath]C_1B_2\parallel OA_1[/inlmath]). Odatle je [inlmath]OA_1=C_1B_2=\frac{1}{2}AH=A_2H[/inlmath], a pošto važi i [inlmath]OA_1\parallel A_2H[/inlmath], sledi da je [inlmath]A_1OA_2H[/inlmath] takođe paralelogram, tj. da se njegove dijagonale [inlmath]A_1A_2[/inlmath] i [inlmath]OH[/inlmath] međusobno polove.