Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Kružnice upisane u pravougli trougao

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Kružnice upisane u pravougli trougao

Postod Frank » Petak, 22. Januar 2021, 01:42

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom:

Neka je [inlmath]D[/inlmath] podnožje visine iz temena [inlmath]C[/inlmath] pravouglog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] ([inlmath]\angle C=90^\circ[/inlmath])[/inlinemath]. Ako su poluprečnici upisanih u trouglove [inlmath]ACD[/inlmath] I [inlmath]BCD[/inlmath] redom jednaki [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], odrediti poluprečnik kruga upisanog u trougao [inlmath]ABC[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]5\text{ cm}[/inlmath]

Sa slike se može uočiti da su trouglovi [inlmath]ABC[/inlmath], [inlmath]ACD[/inlmath] i [inlmath]CDB[/inlmath] slični. Međutim, nemam ideju kako bih na pravi način iskorisio tu činjenicu. Kad raspišem jednačine koje slede iz sličnosti (odgovarajući uglovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne) ne dobijam ništa korisno...
Svaka smernica bi mi dobrodošla. Hvala!

image_2021-01-22_011512.png
image_2021-01-22_011512.png (9.48 KiB) Pogledano 451 puta
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Kružnice upisane u pravougli trougao

Postod primus » Petak, 22. Januar 2021, 05:00

Neka je [inlmath]BC=a[/inlmath], [inlmath]AC=b[/inlmath] i [inlmath]AB=c[/inlmath]. Na osnovu sličnosti trouglova koje si uočio imamo: [inlmath]a:r_1=b:r_2=c:r_x=k[/inlmath], odnosno: [inlmath]a=kr_1[/inlmath]; [inlmath]b=kr_2[/inlmath]; [inlmath]c=kr_x[/inlmath]. Sad primenimo Pitagorinu teoremu: [inlmath]c^2=a^2+b^2[/inlmath] pa je [inlmath](kr_x)^2=(kr_1)^2+(kr_2)^2[/inlmath], tj. [inlmath]r_x=\sqrt{r_1^2+r_2^2}=5\text{ cm}[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Kružnice upisane u pravougli trougao

Postod Frank » Petak, 22. Januar 2021, 08:38

Da li postoji neki dokaz zbog čega za dva slična trougla važi [inlmath]\frac{a}{r_1}=\frac{b}{r_2}[/inlmath]?
Nisam se sa ovim do sada sretao.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +2

Re: Kružnice upisane u pravougli trougao

Postod primus » Petak, 22. Januar 2021, 10:59

Proporciju [inlmath]a:r_1=b:r_2[/inlmath], odnosno [inlmath]a:b=r_1:r_2[/inlmath] možeš dokazati izjednačavajući Heronovu formulu za površinu trougla sa formulom [inlmath]P=r\cdot s[/inlmath]. Pre toga potrebno je pokazati da poluobimi ova dva trougla stoje u istoj razmeri kao i odgovarajuće stranice što ne predstavlja nikakav problem.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

  • +1

Re: Kružnice upisane u pravougli trougao

Postod Daniel » Petak, 22. Januar 2021, 13:53

I uopšte, kod sličnih trouglova, svi odgovarajući elementi koji imaju dimenziju dužine (uključujući visine, težišne duži, poluprečnike opisanih/upisanih kružnica itd.) stoje u istom odnosu kao i stranice, dok svi odgovarajući elementi koji imaju dimenziju površine (površine celih trouglova ili nekih njihovih delova) stoje u istom odnosu kao kvadrati stranica. Sve ovo se može dokazati geometrijski, tako što se unutar posmatranih sličnih trouglova uoče drugi slični trouglovi.

A i prilično je intuitivno – smanjiš/povećaš neki trougao za neki procenat, i sve dužine unutar njega će se smanjiti/povećati za isti procenat, zar ne?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 57 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs