MATEMANIJA

Pozdrav! Imam problem sa sledećim zadatkom:

Neka je [inlmath]D[/inlmath] podnožje visine iz temena [inlmath]C[/inlmath] pravouglog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] ([inlmath]\angle C=90^\circ[/inlmath])[/inlinemath]. Ako su poluprečnici upisanih u trouglove [inlmath]ACD[/inlmath] I [inlmath]BCD[/inlmath] redom jednaki [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], odrediti poluprečnik kruga upisanog u trougao [inlmath]ABC[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]5\text{ cm}[/inlmath]

Sa slike se može uočiti da su trouglovi [inlmath]ABC[/inlmath], [inlmath]ACD[/inlmath] i [inlmath]CDB[/inlmath] slični. Međutim, nemam ideju kako bih na pravi način iskorisio tu činjenicu. Kad raspišem jednačine koje slede iz sličnosti (odgovarajući uglovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne) ne dobijam ništa korisno...
Svaka smernica bi mi dobrodošla. Hvala!

Neka je [inlmath]BC=a[/inlmath], [inlmath]AC=b[/inlmath] i [inlmath]AB=c[/inlmath]. Na osnovu sličnosti trouglova koje si uočio imamo: [inlmath]a:r_1=b:r_2=c:r_x=k[/inlmath], odnosno: [inlmath]a=kr_1[/inlmath]; [inlmath]b=kr_2[/inlmath]; [inlmath]c=kr_x[/inlmath]. Sad primenimo Pitagorinu teoremu: [inlmath]c^2=a^2+b^2[/inlmath] pa je [inlmath](kr_x)^2=(kr_1)^2+(kr_2)^2[/inlmath], tj. [inlmath]r_x=\sqrt{r_1^2+r_2^2}=5\text{ cm}[/inlmath].

Da li postoji neki dokaz zbog čega za dva slična trougla važi [inlmath]\frac{a}{r_1}=\frac{b}{r_2}[/inlmath]?
Nisam se sa ovim do sada sretao.

Proporciju [inlmath]a:r_1=b:r_2[/inlmath], odnosno [inlmath]a:b=r_1:r_2[/inlmath] možeš dokazati izjednačavajući Heronovu formulu za površinu trougla sa formulom [inlmath]P=r\cdot s[/inlmath]. Pre toga potrebno je pokazati da poluobimi ova dva trougla stoje u istoj razmeri kao i odgovarajuće stranice što ne predstavlja nikakav problem.

I uopšte, kod sličnih trouglova, svi odgovarajući elementi koji imaju dimenziju dužine (uključujući visine, težišne duži, poluprečnike opisanih/upisanih kružnica itd.) stoje u istom odnosu kao i stranice, dok svi odgovarajući elementi koji imaju dimenziju površine (površine celih trouglova ili nekih njihovih delova) stoje u istom odnosu kao kvadrati stranica. Sve ovo se može dokazati geometrijski, tako što se unutar posmatranih sličnih trouglova uoče drugi slični trouglovi.

A i prilično je intuitivno – smanjiš/povećaš neki trougao za neki procenat, i sve dužine unutar njega će se smanjiti/povećati za isti procenat, zar ne?