Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Površina preseka krugova

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Površina preseka krugova

Postod Frank » Ponedeljak, 25. Januar 2021, 15:16

Pozdrav! Ne uspevam da uradim sledeći zadatak:

Krugovi [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] se seku pod pravim uglom. Izračunati površinu njihovog preseka ako su poluprečnici tih krugova [inlmath]r_1=1\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]r_2=\sqrt3\text{ cm}[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]

Moj postupak:
Površina četvorogula [inlmath]ABDC[/inlmath] je jednaka [inlmath]2\large{\frac{\sqrt3\cdot1}{2}}=\sqrt3[/inlmath]. Dužina duži [inlmath]AB[/inlmath] (preko Pitagorine teoreme) je [inlmath]2[/inlmath]. Kosinus ugla [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pa je [inlmath]\angle ABC=30^\circ[/inlmath], a odatle [inlmath]\angle DBC=60^\circ[/inlmath] (jer je [inlmath]\angle ABD=\angle ABC)[/inlmath]. Kako je [inlmath]\angle DAC+\angle DBC=180^\circ[/inlmath] sledi da je [inlmath]\angle DAC=120^\circ[/inlmath].
Površinu preseka datih krugova sam računao tako što sam od ukupne površine četvorougla [inlmath]ABDC[/inlmath] oduzeo površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]ADC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]B[/inlmath] i površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]DBC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]A[/inlmath], tj,
[dispmath]X=\sqrt3-\sqrt3+\frac{1^2\pi\cdot120^\circ}{360^\circ}-\sqrt3+\frac{\left(\sqrt3\right)^2\pi\cdot60^\circ}{360^\circ}=\frac{5\pi}{6}-\sqrt3[/dispmath]
image_2021-01-25_144040.png
image_2021-01-25_144040.png (5.93 KiB) Pogledano 924 puta

Ma koliko dugo tražio grešku ne uspevam da je nađem. Hvala! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Površina preseka krugova

Postod Daniel » Utorak, 26. Januar 2021, 01:25

Ne možeš pronaći grešku, jer je i – nema. :)
Pusti ti zbirku nek priča šta hoće, tvoje rešenje je tačno.
Proverio sam i na drugi način (kombinacijom analitičke geometrije i integrala) i jopet se dobije [inlmath]\frac{5\pi}{6}-\sqrt3[/inlmath].
A možeš ta dva rešenja i aproksimativno proveriti – rešenje iz zbirke, kad se na kalkulatoru sračuna, dobije se [inlmath]\approx1,23[/inlmath], a tvoje rešenje je [inlmath]\approx0,89[/inlmath]. E sad pošto ti je slika u srazmeri, možeš zamisliti kolika bi bila površina vrednosti [inlmath]1[/inlmath] (to bi, je li, bio kvadrat nad poluprečnikom [inlmath]r_1[/inlmath]), pa je donekle i vidljivo da tražena površina vizuelno nije veća od te jedinice, već može biti samo manja, što znači da se pre poklapa s tvojim rešenjem nego s onim iz zbirke.

Frank je napisao:Površina četvorogula [inlmath]ABDC[/inlmath] je jednaka [inlmath]2\large{\frac{\sqrt3\cdot1}{2}}=\sqrt3[/inlmath]. Dužina duži [inlmath]AB[/inlmath] (preko Pitagorine teoreme) je [inlmath]2[/inlmath]. Kosinus ugla [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pa je [inlmath]\angle ABC=30^\circ[/inlmath], a odatle [inlmath]\angle DBC=60^\circ[/inlmath] (jer je [inlmath]\angle ABD=\angle ABC)[/inlmath]. Kako je [inlmath]\angle DAC+\angle DBC=180^\circ[/inlmath] sledi da je [inlmath]\angle DAC=120^\circ[/inlmath].

Možeš donekle skratiti ovaj postupak, ako iz odnosa [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] uočiš da su trouglovi [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] polovine jednakostraničnih trouglova (a kod njih znamo koliko iznose uglovi i u kakvom su odnosu stranice). I odatle samo tapa-tapa-tap – začas dobijemo da je [inlmath]AB=2r_1=2[/inlmath], [inlmath]\angle BAC=\angle BAD=60^\circ[/inlmath] (pa je i [inlmath]\angle CAD=120^\circ[/inlmath]), [inlmath]\angle ABC=\angle ABD=30^\circ[/inlmath] (pa je i [inlmath]\angle CBD=60^\circ[/inlmath]).

Frank je napisao:Površinu preseka datih krugova sam računao tako što sam od ukupne površine četvorougla [inlmath]ABDC[/inlmath] oduzeo površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]ADC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]B[/inlmath] i površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]DBC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]A[/inlmath],

A možeš i ovako – ako bi sabrao površine kružnih isečaka [inlmath]{P_i}_1[/inlmath] i [inlmath]{P_i}_2[/inlmath], dobio bi površinu četvorougla [inlmath]ADBC[/inlmath] uvećanu za traženu površinu [inlmath]P[/inlmath] (jer smo ovime [inlmath]P[/inlmath] sabirali dvaput). Odatle je [inlmath]{P_i}_1+{P_i}_2=P_{ADBC}+P[/inlmath], a odatle [inlmath]P={P_i}_1+{P_i}_2-P_{ADBC}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:54 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs