MATEMANIJA

Pozdrav! Ne uspevam da uradim sledeći zadatak:

Krugovi [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] se seku pod pravim uglom. Izračunati površinu njihovog preseka ako su poluprečnici tih krugova [inlmath]r_1=1\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]r_2=\sqrt3\text{ cm}[/inlmath]
Rešenje: [inlmath]\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]

Moj postupak:
Površina četvorogula [inlmath]ABDC[/inlmath] je jednaka [inlmath]2\large{\frac{\sqrt3\cdot1}{2}}=\sqrt3[/inlmath]. Dužina duži [inlmath]AB[/inlmath] (preko Pitagorine teoreme) je [inlmath]2[/inlmath]. Kosinus ugla [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pa je [inlmath]\angle ABC=30^\circ[/inlmath], a odatle [inlmath]\angle DBC=60^\circ[/inlmath] (jer je [inlmath]\angle ABD=\angle ABC)[/inlmath]. Kako je [inlmath]\angle DAC+\angle DBC=180^\circ[/inlmath] sledi da je [inlmath]\angle DAC=120^\circ[/inlmath].
Površinu preseka datih krugova sam računao tako što sam od ukupne površine četvorougla [inlmath]ABDC[/inlmath] oduzeo površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]ADC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]B[/inlmath] i površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]DBC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]A[/inlmath], tj,
[dispmath]X=\sqrt3-\sqrt3+\frac{1^2\pi\cdot120^\circ}{360^\circ}-\sqrt3+\frac{\left(\sqrt3\right)^2\pi\cdot60^\circ}{360^\circ}=\frac{5\pi}{6}-\sqrt3[/dispmath]

Ma koliko dugo tražio grešku ne uspevam da je nađem. Hvala!

Ne možeš pronaći grešku, jer je i – nema.
Pusti ti zbirku nek priča šta hoće, tvoje rešenje je tačno.
Proverio sam i na drugi način (kombinacijom analitičke geometrije i integrala) i jopet se dobije [inlmath]\frac{5\pi}{6}-\sqrt3[/inlmath].
A možeš ta dva rešenja i aproksimativno proveriti – rešenje iz zbirke, kad se na kalkulatoru sračuna, dobije se [inlmath]\approx1,23[/inlmath], a tvoje rešenje je [inlmath]\approx0,89[/inlmath]. E sad pošto ti je slika u srazmeri, možeš zamisliti kolika bi bila površina vrednosti [inlmath]1[/inlmath] (to bi, je li, bio kvadrat nad poluprečnikom [inlmath]r_1[/inlmath]), pa je donekle i vidljivo da tražena površina vizuelno nije veća od te jedinice, već može biti samo manja, što znači da se pre poklapa s tvojim rešenjem nego s onim iz zbirke.

Frank je napisao:Površina četvorogula [inlmath]ABDC[/inlmath] je jednaka [inlmath]2\large{\frac{\sqrt3\cdot1}{2}}=\sqrt3[/inlmath]. Dužina duži [inlmath]AB[/inlmath] (preko Pitagorine teoreme) je [inlmath]2[/inlmath]. Kosinus ugla [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pa je [inlmath]\angle ABC=30^\circ[/inlmath], a odatle [inlmath]\angle DBC=60^\circ[/inlmath] (jer je [inlmath]\angle ABD=\angle ABC)[/inlmath]. Kako je [inlmath]\angle DAC+\angle DBC=180^\circ[/inlmath] sledi da je [inlmath]\angle DAC=120^\circ[/inlmath].

Možeš donekle skratiti ovaj postupak, ako iz odnosa [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] uočiš da su trouglovi [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] polovine jednakostraničnih trouglova (a kod njih znamo koliko iznose uglovi i u kakvom su odnosu stranice). I odatle samo tapa-tapa-tap – začas dobijemo da je [inlmath]AB=2r_1=2[/inlmath], [inlmath]\angle BAC=\angle BAD=60^\circ[/inlmath] (pa je i [inlmath]\angle CAD=120^\circ[/inlmath]), [inlmath]\angle ABC=\angle ABD=30^\circ[/inlmath] (pa je i [inlmath]\angle CBD=60^\circ[/inlmath]).

Frank je napisao:Površinu preseka datih krugova sam računao tako što sam od ukupne površine četvorougla [inlmath]ABDC[/inlmath] oduzeo površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]ADC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]B[/inlmath] i površinu onog dela kružnog isečka [inlmath]DBC[/inlmath] koji ne pripada krugu sa centrom u tački [inlmath]A[/inlmath],

A možeš i ovako – ako bi sabrao površine kružnih isečaka [inlmath]{P_i}_1[/inlmath] i [inlmath]{P_i}_2[/inlmath], dobio bi površinu četvorougla [inlmath]ADBC[/inlmath] uvećanu za traženu površinu [inlmath]P[/inlmath] (jer smo ovime [inlmath]P[/inlmath] sabirali dvaput). Odatle je [inlmath]{P_i}_1+{P_i}_2=P_{ADBC}+P[/inlmath], a odatle [inlmath]P={P_i}_1+{P_i}_2-P_{ADBC}[/inlmath].