MATEMANIJA

Pozdrav! Zadatak je sledeći:

Podnožja visina oštrouglog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] su temena drugog trougla čiji je obim [inlmath]2s[/inlmath]. Naći površinu trougla [inlmath]ABC[/inlmath] ako je poluprečnik kruga opisanog oko trougla [inlmath]ABC[/inlmath] jednak [inlmath]R[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]sR[/inlmath]

Imam kompletno rešenje zadatka, ali mi jedan deo nije jasan, pa ako bi neko mogao da mi objasni deo koji ne razumem bio bih mu veoma zahvalan. Rešenje:

---

Dokažimo da je [inlmath]AO\perp B_1C_1[/inlmath], v. sliku. Pošto je [inlmath]\angle AOM[/inlmath] polovina centralnog ugla nad [inlmath]AB[/inlmath], biće [inlmath]\angle AOM=\gamma=\angle ACB[/inlmath], odakle
[dispmath]\angle OAM=90^\circ-\gamma\tag1[/dispmath] Četvorougao [inlmath]AC_1HB_1[/inlmath] je tetivni (jer ima dva naspramna prava ugla), pa je [inlmath]\angle B_1C_1A=\angle B_1HA[/inlmath], a kako je [inlmath]B_1H\perp AC[/inlmath], [inlmath]HA\perp BC[/inlmath] biće [inlmath]\angle B_1HA=\angle ACB=\gamma[/inlmath], dakle
[dispmath]\angle B_1C_1A=\gamma\tag2[/dispmath] Iz [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] sledi da je [inlmath]AO\perp B_1C_1[/inlmath]. Prema tome, površina četvorougla [inlmath]AC_1OB_1[/inlmath] je [inlmath]\frac{1}{2}AO\cdot B_1C_1[/inlmath]; slično se dokazuje da su površine četvorougla [inlmath]BA_1OC_1[/inlmath] i [inlmath]CB_1OA_1[/inlmath], redom, [inlmath]\frac{1}{2}BO\cdot A_1C_1[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{2}CO\cdot A_1B_1[/inlmath]. Sabiranjem dobijamo površinu trougla: [inlmath]P=\frac{R}{2}(B_1C_1+A_1C_1+A_1B_1)=sR[/inlmath]

---

Nije mi jasno zbog čega su površinu četvorougla [inlmath]BA_1OC_1[/inlmath] računali kao [inlmath]\frac{1}{2}BO\cdot A_1C_1[/inlmath]. Za razliku od četvorougla [inlmath]AC_1OB_1[/inlmath] i [inlmath]CB_1OA_1[/inlmath], četvorougao [inlmath]BA_1OC_1[/inlmath] nije konveksan. Takođe, na slici se jasno vidi da poluprečnik samo jednim svojim delom seče stranicu [inlmath]C_1A_1[/inlmath] (tj. poluprečnik nije jedna od dijagonala kao što je slučaj kod druga dva četvorougla). Hvala unapred!

Frank je napisao:Nije mi jasno zbog čega su površinu četvorougla [inlmath]BA_1OC_1[/inlmath] računali kao [inlmath]\frac{1}{2}BO\cdot A_1C_1[/inlmath]. Za razliku od četvorougla [inlmath]AC_1OB_1[/inlmath] i [inlmath]CB_1OA_1[/inlmath], četvorougao [inlmath]BA_1OC_1[/inlmath] nije konveksan.

A zbog čega misliš da za konkavan četvorougao ne bi to isto važilo? Nađimo površinu konkavnog četvorougla sa slike, kod kojeg je takođe [inlmath]AC\perp BD[/inlmath]:


[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle ABD}+P_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot x+\frac{1}{2}BD\cdot y=\frac{1}{2}BD\underbrace{(x+y)}_{AC}=\frac{1}{2}BD\cdot AC[/dispmath]

Frank je napisao:Takođe, na slici se jasno vidi da poluprečnik samo jednim svojim delom seče stranicu [inlmath]C_1A_1[/inlmath] (tj. poluprečnik nije jedna od dijagonala kao što je slučaj kod druga dva četvorougla).

Ovaj deo mi nije najjasniji. Šta podrazumevaš pod „samo jednim svojim delom seče“?

Daniel je napisao:Ovaj deo mi nije najjasniji. Šta podrazumevaš pod „samo jednim svojim delom seče“?

Sad kad malo bolje pogledam vidm da to što sam podrazumevao pod „samo jednim svojim delom seče“ nema veze s vezom (baš kao ni sama formulacija), tako da bolje da ne mrsim još više...

Daniel je napisao:kod kojeg je takođe [inlmath]AC\parallel BD[/inlmath]

Ovde verovatno treba da stoji [inlmath]AC\perp BD[/inlmath].

Frank je napisao:Ovde verovatno treba da stoji [inlmath]AC\perp BD[/inlmath].

Dabome, [inlmath]AC\perp BD[/inlmath], moja greška, sorry. Ispravih, hvala!