MATEMANIJA

Bočna strana pravilne četvorostrane piramide gradi sa osnovom piramide ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Odnos zapremine piramide i sfere upisane u nju je?

Pokušavao sam da uradim kao u sličnom primeru na YouTube-u ali njihova piramida je jednakoivična. Izrazio sam [inlmath]H[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] uz pomoć [inlmath]\tan60^\circ[/inlmath]. Ali nikako ne mogu [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik sfere da izrazim uz pomoć [inlmath]a[/inlmath] pa ako može neko da mi da smernicu.

Presek ravni koja sadrži visinu piramide i okomita je na ravan osnove piramide i piramide je jednakostranični trougao čija je visina jednaka [inlmath]H[/inlmath]. Kako težišna tačka ovog trougla predstavlja centar sfere upisane u piramidu imamo da je: [inlmath]R=\frac{1}{3}H[/inlmath].

Da budem precizan... mislim na ravan koja prolazi kroz središta dvaju naspramnih osnovnih ivica.

Nastavio sam da radim i dobio sam [inlmath]\tan60^\circ=\frac{H}{r_u}[/inlmath] a [inlmath]r_u=\frac{a}{2}[/inlmath] pa iz toga sledi da je [inlmath]H=\frac{\sqrt3\cdot a}{2}[/inlmath]. Da li sam negde pogrešio? To sve kad zamenim u formule za zapreminu i dobijem da je njhov odnos broj [inlmath]\pi[/inlmath]. Za poluprečnik sfere napišem i zamenim u formuli [inlmath]R=\frac{H}{3}[/inlmath]

Ja dobijam da je [inlmath]V_p=\frac{a^3\sqrt3}{6}[/inlmath], a [inlmath]V_s=\frac{a^3\sqrt3\pi}{54}[/inlmath]. Pa je odnos [inlmath]\frac{V_p}{V_s}=\frac{9}{\pi}[/inlmath].

@NemanjaS
Izuzev krajnjeg rezultata, sve drugo ti je tačno (mada je malo čudna ta oznaka [inlmath]r_u[/inlmath], obično slovom [inlmath]r[/inlmath] označavamo poluprečnik nečega).

Potvrđujem tačnost primusovog rezultata.

Inače, ovde uopšte nemaš potrebe za korišćenjem tangensa. Ovde posmatraš samo jednakostraničan trougao, a za njega su ti poznate sve formule (npr. visina preko stranice itd.)