MATEMANIJA

Pozdrav! Zadatak je sledeći:

Osnova kose prizme je jednakostranični trougao stranice [inlmath]a[/inlmath]. Dužina bočne ivice je [inlmath]b[/inlmath], a jedna od bočnih ivica obrazuje sa susednim ivicama uglove od po [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Kolika je površina omotača prizme.
Rešenje: [inlmath]ab\left(1+\sqrt2\right)[/inlmath]

Kod kose prizme u omotaču se nalaze romboidi. Površinu jedne strane omotača kose prizme sam računao kao [inlmath]\displaystyle P_1=ab\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}ab[/inlmath] (romboid se sastoji od dva podudarna trougla, a površinu svakog trougla možemo računati po formuli [inlmath]\displaystyle P=\frac{ab\sin\gamma}{2}[/inlmath] gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] stranice trougla, a [inlmath]\gamma[/inlmath] ugao između stanica [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Površina omotača se sastoji od tri romboida, pa je konačno rešenje zadatka [inlmath]\displaystyle3P_1=\frac{3\sqrt2}{2}ab[/inlmath]
Očigledno sam nešto prevideo. Nisu mi nešto preterano drage ove kose prizme i ne snalizim se baš najbolje sa njima, tako da nemam predstavu gde bi mogla biti greška. Hvala!
Mislim da skica zadatka nije neophodna jer zadatak nije preterano komplikovan, pa se slika može i zamisliti.

Greška ti je u tome što si pretpostavio da su sve tri strane omotača međusobno podudarne, a što nije tačno.
Pogledajmo sliku:


Strane [inlmath]ABB_1A_1[/inlmath] i [inlmath]ACC_1A_1[/inlmath] jesu međusobno podudarne, jer su to romboidi jednakih stranica koji imaju naspramne uglove [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Međutim, treća strana omotača, [inlmath]BCC_1B_1[/inlmath], ne mora imati uglove od [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Koliki su njeni uglovi možemo odrediti ako uočimo da postoji simetričnost u odnosu na ravan [inlmath]ADD_1A_1[/inlmath] (tačke [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]D_1[/inlmath] su sredine ivica [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]B_1C_1[/inlmath] respektivno). Zbog te simetričnosti, uglovi [inlmath]\angle CBB_1[/inlmath] i [inlmath]\angle BCC_1[/inlmath] moraju biti jednaki.