Data je kosa četvorostrana prizma čije su osnove kvadrati stranice [inlmath]a[/inlmath], a jedno teme gornje osnove nalazi se iznad centra donje osnove na odstojanju [inlmath]b[/inlmath] od donje osnove. Izračunati površinu prizme.
Rešenje: [inlmath]2a\sqrt{4b^2+a^2}+2a^2[/inlmath]
Moj postupak:
Dužina duži [inlmath]AN[/inlmath] je jednaka polovini dijagonale kvadrata stranice [inlmath]a[/inlmath], tj. [inlmath]AN=\frac{a\sqrt2}{2}[/inlmath]. Primenom Pitagorine teoreme na trougao [inlmath]AA_1N[/inlmath] sam dobio da je jedna stranica romboida [inlmath]AA_1BB_1[/inlmath] jednaka [inlmath]AA_1=\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}[/inlmath]. Istim postupkom nalazim da je [inlmath]A_1B[/inlmath] takođe [inlmath]\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}[/inlmath]. Visina trougla [inlmath]AA_1B[/inlmath] jednaka je [inlmath]h^2=AA_1^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\;\Longrightarrow\;h=\frac{\sqrt{4b^2+a^2}}{2}[/inlmath]. Površina romboida [inlmath]AA_1BB_1[/inlmath] jednaka je [inlmath]P_1=h\cdot a=\frac{a\sqrt{4b^2+a^2}}{2}[/inlmath]. Pod pretpostavkom da se u omotaču nalaze četiri podudarna romboida nalazim da je površina prizme jednaka [inlmath]P=2B+M=2a^2+4\cdot P_1=2a^2+2a\sqrt{4b^2+a^2}[/inlmath], što i jeste rešenje zadatka.
E sad, nije mi jasno kako da dokažem da se u omotaču nalaze tri podudarna romboida. Pokušao sam da "šetam" visinu prizme ([inlmath]b[/inlmath]) levo-desno, tamo-vamo (s ciljem da uočim "neke" pravougle trogulove), ali time nisam ništa dobio. Kod svih zadatka ovog tipa (osnova kvadrat, jedno teme gornje osnove se nalazi iznad centra donje osnove) na koje sam nailazio do sada, u omotaču su se nalazila četiri podudarna romboida, ali voleo bih da znam zašto je to tako, da ne bude da sam nabubo napamet.
Hvala unapred!