Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Kosa četvorostrana prizma

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Kosa četvorostrana prizma

Postod Frank » Četvrtak, 11. Februar 2021, 17:45

Pozdrav! Imam jedan problem sa sledećim zadatkom:

Data je kosa četvorostrana prizma čije su osnove kvadrati stranice [inlmath]a[/inlmath], a jedno teme gornje osnove nalazi se iznad centra donje osnove na odstojanju [inlmath]b[/inlmath] od donje osnove. Izračunati površinu prizme.
Rešenje: [inlmath]2a\sqrt{4b^2+a^2}+2a^2[/inlmath]

Moj postupak:
Dužina duži [inlmath]AN[/inlmath] je jednaka polovini dijagonale kvadrata stranice [inlmath]a[/inlmath], tj. [inlmath]AN=\frac{a\sqrt2}{2}[/inlmath]. Primenom Pitagorine teoreme na trougao [inlmath]AA_1N[/inlmath] sam dobio da je jedna stranica romboida [inlmath]AA_1BB_1[/inlmath] jednaka [inlmath]AA_1=\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}[/inlmath]. Istim postupkom nalazim da je [inlmath]A_1B[/inlmath] takođe [inlmath]\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}[/inlmath]. Visina trougla [inlmath]AA_1B[/inlmath] jednaka je [inlmath]h^2=AA_1^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\;\Longrightarrow\;h=\frac{\sqrt{4b^2+a^2}}{2}[/inlmath]. Površina romboida [inlmath]AA_1BB_1[/inlmath] jednaka je [inlmath]P_1=h\cdot a=\frac{a\sqrt{4b^2+a^2}}{2}[/inlmath]. Pod pretpostavkom da se u omotaču nalaze četiri podudarna romboida nalazim da je površina prizme jednaka [inlmath]P=2B+M=2a^2+4\cdot P_1=2a^2+2a\sqrt{4b^2+a^2}[/inlmath], što i jeste rešenje zadatka.
E sad, nije mi jasno kako da dokažem da se u omotaču nalaze tri podudarna romboida. Pokušao sam da "šetam" visinu prizme ([inlmath]b[/inlmath]) levo-desno, tamo-vamo (s ciljem da uočim "neke" pravougle trogulove), ali time nisam ništa dobio. Kod svih zadatka ovog tipa (osnova kvadrat, jedno teme gornje osnove se nalazi iznad centra donje osnove) na koje sam nailazio do sada, u omotaču su se nalazila četiri podudarna romboida, ali voleo bih da znam zašto je to tako, da ne bude da sam nabubo napamet.
Hvala unapred! :)

Четворострана призма.png
Четворострана призма.png (6.07 KiB) Pogledano 995 puta
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kosa četvorostrana prizma

Postod Daniel » Nedelja, 14. Februar 2021, 02:39

Prvo, što se tiče računanja površine omotača, može i na lakši način:

cetvorostrana prizma.png
cetvorostrana prizma.png (2.12 KiB) Pogledano 946 puta

Pošto je ivica [inlmath]AB[/inlmath] normalna na ravan određenu trouglom [inlmath]\triangle ENA_1[/inlmath], sledi da mora biti i [inlmath]AB\perp EA_1[/inlmath], što znači da je [inlmath]P_{ABB_1A_1}=AB\cdot EA_1=a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}[/inlmath].

Sad, što se tiče tvog pitanja zbog čega su sve strane omotača ove prizme jednake.
Vrlo se lako pokazuje da su kod prizme čija je osnova paralelogram, naspramne strane omotača međusobno podudarne (može preko podudarnosti trouglova, stav SUS). Znači, dovoljno je samo pokazati da su kod ove prizme podudarne bilo koje dve susedne strane omotača, čime će biti dokazano i da su sve strane omotača međusobno podudarne.
Jedan je način da uočiš simetriju u odnosu na ravan paralelograma [inlmath]ACC_1A_1[/inlmath]. Iz te simetrije očigledno je da je [inlmath]ABB_1A_1\cong ADD_1A_1[/inlmath], kao i [inlmath]BCC_1B_1\cong DCC_1D_1[/inlmath].
Drugi način je da uočiš podudarnost trouglova [inlmath]\triangle ABA_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADA_1[/inlmath] (stav SSS).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 51 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 22:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs