MATEMANIJA

Pozdrav! Imam jedan problem sa sledećim zadatkom:

Data je kosa četvorostrana prizma čije su osnove kvadrati stranice [inlmath]a[/inlmath], a jedno teme gornje osnove nalazi se iznad centra donje osnove na odstojanju [inlmath]b[/inlmath] od donje osnove. Izračunati površinu prizme.
Rešenje: [inlmath]2a\sqrt{4b^2+a^2}+2a^2[/inlmath]

Moj postupak:
Dužina duži [inlmath]AN[/inlmath] je jednaka polovini dijagonale kvadrata stranice [inlmath]a[/inlmath], tj. [inlmath]AN=\frac{a\sqrt2}{2}[/inlmath]. Primenom Pitagorine teoreme na trougao [inlmath]AA_1N[/inlmath] sam dobio da je jedna stranica romboida [inlmath]AA_1BB_1[/inlmath] jednaka [inlmath]AA_1=\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}[/inlmath]. Istim postupkom nalazim da je [inlmath]A_1B[/inlmath] takođe [inlmath]\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}[/inlmath]. Visina trougla [inlmath]AA_1B[/inlmath] jednaka je [inlmath]h^2=AA_1^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\;\Longrightarrow\;h=\frac{\sqrt{4b^2+a^2}}{2}[/inlmath]. Površina romboida [inlmath]AA_1BB_1[/inlmath] jednaka je [inlmath]P_1=h\cdot a=\frac{a\sqrt{4b^2+a^2}}{2}[/inlmath]. Pod pretpostavkom da se u omotaču nalaze četiri podudarna romboida nalazim da je površina prizme jednaka [inlmath]P=2B+M=2a^2+4\cdot P_1=2a^2+2a\sqrt{4b^2+a^2}[/inlmath], što i jeste rešenje zadatka.
E sad, nije mi jasno kako da dokažem da se u omotaču nalaze tri podudarna romboida. Pokušao sam da "šetam" visinu prizme ([inlmath]b[/inlmath]) levo-desno, tamo-vamo (s ciljem da uočim "neke" pravougle trogulove), ali time nisam ništa dobio. Kod svih zadatka ovog tipa (osnova kvadrat, jedno teme gornje osnove se nalazi iznad centra donje osnove) na koje sam nailazio do sada, u omotaču su se nalazila četiri podudarna romboida, ali voleo bih da znam zašto je to tako, da ne bude da sam nabubo napamet.
Hvala unapred!

Prvo, što se tiče računanja površine omotača, može i na lakši način:


Pošto je ivica [inlmath]AB[/inlmath] normalna na ravan određenu trouglom [inlmath]\triangle ENA_1[/inlmath], sledi da mora biti i [inlmath]AB\perp EA_1[/inlmath], što znači da je [inlmath]P_{ABB_1A_1}=AB\cdot EA_1=a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}[/inlmath].

Sad, što se tiče tvog pitanja zbog čega su sve strane omotača ove prizme jednake.
Vrlo se lako pokazuje da su kod prizme čija je osnova paralelogram, naspramne strane omotača međusobno podudarne (može preko podudarnosti trouglova, stav SUS). Znači, dovoljno je samo pokazati da su kod ove prizme podudarne bilo koje dve susedne strane omotača, čime će biti dokazano i da su sve strane omotača međusobno podudarne.
Jedan je način da uočiš simetriju u odnosu na ravan paralelograma [inlmath]ACC_1A_1[/inlmath]. Iz te simetrije očigledno je da je [inlmath]ABB_1A_1\cong ADD_1A_1[/inlmath], kao i [inlmath]BCC_1B_1\cong DCC_1D_1[/inlmath].
Drugi način je da uočiš podudarnost trouglova [inlmath]\triangle ABA_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADA_1[/inlmath] (stav SSS).