MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 11. jun 2016.
19. zadatak

Data je trostrana piramida čije su bočne strane uzajamno normalne. Ako su površine bočnih strana jednake [inlmath]6\text{ cm}^2,9\text{ cm}^2,12\text{ cm}^2[/inlmath], onda je zapremina date piramide (u [inlmath]\text{cm}^3[/inlmath]) jednaka [inlmath]12[/inlmath].

Ja sam uspeo naci sve bocne ivice ali ne znam kako naci visinu piramide sad.

Hvala na svakom savetu.

Označimo sa [inlmath]a,b,c[/inlmath] ivice koje si odredio. Tada je zapremina piramide jednaka:
[dispmath]V=\frac{\frac{a\cdot b}{2}\cdot c}{3}=\frac{\frac{a\cdot c}{2}\cdot b}{3}=\frac{\frac{b\cdot c}{2}\cdot a}{3}[/dispmath]

Nisam znao za ovu formulu. Hvala!

Da li ona vazi uvek, za svaku piramidu?

Formula je izvedena iz opšte formule za zapreminu piramide [inlmath]V=\frac{B\cdot H}{3}[/inlmath] i važi samo u slučaju kad su bočne strane piramide međusobno normalne.

Trostranu piramidu s međusobno normalnim bočnim stranama možemo zamisliti kao odsečeni deo kvadra, kao na slici:


Bilo koju od ove tri bočne strane možemo zapravo posmatrati kao osnovu piramide. Koju god od te tri bočne strane da posmatramo kao osnovu piramide, ona treća ivica koja ne pripada toj strani biće normalna na tu stranu i, samim tim, predstavljaće visinu tako posmatrane piramide.
Npr. ako stranu određenu ivicama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] posmatramo kao osnovu piramide, tada će ivica [inlmath]c[/inlmath] predstavljati visinu te piramide, pa će važiti
[dispmath]V=\frac{1}{3}BH=\frac{1}{3}\cdot\frac{ab}{2}\cdot c=\frac{1}{6}abc[/dispmath] Sasvim analogno i za preostala dva načina posmatranja – uvek će se dobiti [inlmath]V=\frac{1}{6}abc[/inlmath].

Izraz [inlmath]abc[/inlmath] (koji nam je potreban za računanje zapremine) sasvim jednostavno dobijamo tako što proizvod poznatih vrednosti [inlmath]\frac{ab}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{ac}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{bc}{2}[/inlmath] pomnožimo osmicom (čime dobijamo [inlmath]a^2b^2c^2[/inlmath]) i zatim korenujemo (čime dobijamo [inlmath]abc[/inlmath], čijim deljenjem sa [inlmath]6[/inlmath] konačno dobijamo zapreminu).
(Hint – umesto da se radi množenje svih ovih vrednosti kako bi se dobila vrednost pod korenom a zatim izvlači koren tako dobijenog proizvoda, lakše je sve ove vrednosti rastaviti na manje činioce – npr. [inlmath]6[/inlmath] na [inlmath]2\cdot3[/inlmath], [inlmath]9[/inlmath] na [inlmath]3\cdot3[/inlmath], [inlmath]12[/inlmath] na [inlmath]3\cdot4[/inlmath], osmicu na [inlmath]2\cdot4[/inlmath] – i onda svaki par jednakih činilaca izvući ispred korena kao jedan takav činilac; na kraju će to biti lakše izmnožiti nego da je sve množeno pod korenom.)