MATEMANIJA

1. Dijagonale konveksnog cetverougla [inlmath]ABCD[/inlmath] se sijeku u tacki [inlmath]O[/inlmath].Proizvoljna prava [inlmath]p[/inlmath] sijece [inlmath]AB[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath], a [inlmath]CD[/inlmath] u tacki [inlmath]N[/inlmath].Dokazati da su ortogonalne projekcije tacaka [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] na dijagonale cetverougla vrhovi jednog trapeza.
Već sam jednom trazila pomoc oko ovog zadatka ali...
Ass mi je dao nekoliko uputa ali nazalost ja opet ne razumijem, mozda neko od vas razumi
Evo upute:
- kad je četverougao konveksan
- zbir nekih uglova u takvom četveroguglu mora biti koliki? (pokazati to)
- da bi nešto bilo trapez mora zadovoljiti : ....?
Takodjer mi je rekao da zadatak ima rijesen u zbirci od Nevena Elezovica, ja sam pretrazila elementarne zadatke ali nisam nasla, mozda neko ima geometriju

2. Kruznica [inlmath]k_1[/inlmath] poluprecnika [inlmath]r=7\mbox{ cm}[/inlmath] dira pravac [inlmath]p[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath].Na pravcu [inlmath]p[/inlmath] su razlicite tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] takve da je [inlmath]MA=MB=17[/inlmath].Odrediti duzinu poluprecnika kruznice [inlmath]k[/inlmath] koja prolazi tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i dira kruznicu [inlmath]k_1[/inlmath].

3.Polje ima oblik trougla kome su dužine stranica [inlmath]a[/inlmath],[inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Iz helikoptera koji nepomično lebdi u zraku sve se stranice vide pod pravim uglom. Na kojoj je visini helikopter?

studentica_m je napisao:1. Dijagonale konveksnog cetverougla [inlmath]ABCD[/inlmath]

Hajde da jedan isti zadatak ne razvlačimo na dve različite teme. O ovom zadatku je već bilo reči u ovoj temi, pa ako je potrebno još nešto reći u vezi s tim zadatkom (mada mislim da sam onim preciznim crtežom sasvim jasno pokazao da formulacija zadatka nije tačna), nastavićemo u toj prvobitnoj temi.

Za ove ostale zadatke te molim da napišeš bilo kakvu svoju ideju, način na koji si pokušavala itd. Nemoj da napišeš samo tekst i da očekuješ da ti mi sve uradimo.

Da ali taj zadatak nije odradjen napisala sam uputstvo i zamolila za pomoc,mislim ukoliko neko ima zbirku od Nevena Elezovica i da nadje to rjesenje!

Evo upute za treci zadatak: Treba vidjeti koje je to tijelo, što nastaje na takav način. (tetraedar)
Oznake sebi prilagodite:

U njemu vrijedi [inlmath]x^2+y^2=c^2,\;x^2+z^2=b^2,\;y^2+z^2=a^2[/inlmath], gdje su [inlmath]x,y,z[/inlmath] dužine strana tetraedra.
Izrazite onda [inlmath]x^2[/inlmath], [inlmath]y^2[/inlmath] i [inlmath]z^2[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath],[inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].

Pošto su strane u parovima okomite, zapreminu računamo [inlmath]V=\frac{1}{6}xyz[/inlmath].
Drugi način računanja zapremine je preko Heronove formule:
[dispmath]V=\frac{h}{3}\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}}[/dispmath]
Pa vrijedi da je [inlmath]V=V[/inlmath] i izrazite iz toga [inlmath]h[/inlmath].

studentica_m je napisao:Da ali taj zadatak nije odradjen napisala sam uputstvo i zamolila za pomoc,mislim ukoliko neko ima zbirku od Nevena Elezovica i da nadje to rjesenje!

Da, ali ja sam pokazao sliku jednog kontraprimera. Prema tome, očekujem ili 1) da mi se ukaže na eventualnu grešku u mojoj slici (što ne isključujem kao mogućnost, mada sam proverio nekoliko puta), ili 2) da se lepo prihvati da je zadatak netačno formulisan i da ga, kao takvog, nije moguće rešiti. I, po mogućstvu, da se dâ tačna formulacija zadatka.

studentica_m je napisao:Evo upute za treci zadatak: Treba vidjeti koje je to tijelo, što nastaje na takav način. (tetraedar)
Oznake sebi prilagodite:

U njemu vrijedi [inlmath]x^2+y^2=c^2,\;x^2+z^2=b^2,\;y^2+z^2=a^2[/inlmath], gdje su [inlmath]x,y,z[/inlmath] dužine strana tetraedra.
Izrazite onda [inlmath]x^2[/inlmath], [inlmath]y^2[/inlmath] i [inlmath]z^2[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath],[inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].

OK. znači,
[dispmath]\begin{array}{ll}
x^2+y^2=c^2 & \left(1\right) \\
x^2+z^2=b^2 & \left(2\right) \\
y^2+z^2=a^2 & \left(3\right)
\end{array}[/dispmath]
Iz [inlmath]\left(1\right)+\left(2\right)-\left(3\right)[/inlmath] se dobije [inlmath]x^2=\frac{1}{2}\left(b^2+c^2-a^2\right)[/inlmath]. Na sličan način izrazi i [inlmath]y^2[/inlmath] i [inlmath]z^2[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].

studentica_m je napisao:Pošto su strane u parovima okomite, zapreminu računamo [inlmath]V=\frac{1}{6}xyz[/inlmath].
Drugi način računanja zapremine je preko Heronove formule:
[dispmath]V=\frac{h}{3}\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}}[/dispmath]
Pa vrijedi da je [inlmath]V=V[/inlmath] i izrazite iz toga [inlmath]h[/inlmath].

Dakle, izjednačiš ove dve formule za zapreminu i dobiješ jednačinu:
[dispmath]\frac{1}{6}xyz=\frac{h}{3}\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}}[/dispmath]
u kojoj [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] zameniš onim izrazima koje si malopre dobila, a u kojima figurišu, [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Time dobijaš jednačinu u kojoj ti je jedina nepoznata [inlmath]h[/inlmath] i odatle nađeš koliko je [inlmath]h[/inlmath].

studentica_m je napisao:2. Kruznica [inlmath]k_1[/inlmath] poluprecnika [inlmath]r=7\mbox{ cm}[/inlmath] dira pravac [inlmath]p[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath].Na pravcu [inlmath]p[/inlmath] su razlicite tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] takve da je [inlmath]MA=MB=17[/inlmath].Odrediti duzinu poluprecnika kruznice [inlmath]k[/inlmath] koja prolazi tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i dira kruznicu [inlmath]k_1[/inlmath].

U ovom zadatku uočiš to, da prava [inlmath]p[/inlmath] odseca na traženoj kružnici [inlmath]k[/inlmath] kružni odsečak čiji je poluprečnik osnove jednak [inlmath]\overline{MA}=\overline{MB}=17\:\mathrm{cm}[/inlmath], a visina [inlmath]2r=14\:\mathrm{cm}[/inlmath]:


I onda samo primeniš formule za odsečak kružnice i nađeš poluprečnik kružnice [inlmath]k[/inlmath]...

Nešto mi nije jasan ovaj drugi zadatak, bismo li to mogli riješiti na ovaj način!

Posmatrajući sliku koju ste Vi nacrtali:

Označimo s [inlmath]S[/inlmath] centar kružnice [inlmath]k[/inlmath], [inlmath]AS[/inlmath] je poluprečnik koji se traži.
[inlmath]|AS|=R;[/inlmath]
[inlmath]|MS|=R-2r;[/inlmath]
iz torugla [inlmath]AMS[/inlmath] imamo: [inlmath]|AS|^2=|AM|^2+|MS|^2[/inlmath] , tj.

[inlmath]R^2=17^2+\left(R^2-14\right)^2[/inlmath] i rijesimo kvadratnu jednačinu!

Tako je, na taj način sam i mislio, upravo se tako i rešava odsečak kružnice.