Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 15. April 2021, 10:55
od buca
Prijemni ispit FON – 7. septembar 2017.
19. zadatak


Ako je dužina ivica trostrane piramide [inlmath]9\text{ cm}[/inlmath], a dužine stranica osnove [inlmath]6\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]6\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]8\text{ cm}[/inlmath], onda je zapremina te piramide jednaka [inlmath]48\text{ cm}^3[/inlmath].

Kapiram da treba da se nadje visina piramide ali ne znam kako.

Nasao sam visinu osnove [inlmath]h=2\sqrt5\text{ cm}[/inlmath] ali kako dalje?

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 15. April 2021, 11:21
od Frank
Podnožje visine se poklapa sa centrom opisane kružnice oko osnove (baze). Prvo treba da odrediš poluprečnik opisane kružnice oko trougla u osnovi, a potom da primeniš Pitagorinu teoremu na odgovarajući (pravougli) trougao.

BTW Da li tekst zadatka stvarno ovako glasi, ili si ga ti malo promenio?

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Petak, 16. April 2021, 09:11
od buca
Ovako glasi, u pitanju sam samo prekopirao tekst zadatka sa testa. Treba da se nadje zapremina a za to nam treba visina piramide.

Mozes li mi samo reci odakle znamo da visina piramide polazi iz centra opisane kruznice?

U osnovi je JKK trougao i ja nikad nisam cuo za tu formulu za ovakvu piramidu.

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Petak, 16. April 2021, 09:25
od Frank
Iz podatka da su sve ivice jednake sledi da se podnožje visine poklapa sa centrom opisane kružnice. Nacrtaj sliku, samo će ti se reći.

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Petak, 16. April 2021, 23:11
od Daniel
Ili, da kažemo ovako:
Posmatra se podudarnost pravouglih trouglova čije su hipotenuze ivice piramide a njihove katete visina piramide (stav SSU), odakle se dobije da su jednake i projekcije ivica piramide na ravan osnove.
Znači, podnožje visine biće tačka koja je podjednako udaljena od sva tri temena trougla u osnovi – a to je upravo centar opisane kružnice.

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Nedelja, 18. April 2021, 09:07
od buca
Ima smisla, hvala. Nego ne znam kako se izracunava poluprecnik opisane kruznice JKK trougla. :kojik:

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Nedelja, 18. April 2021, 09:29
od Vivienne
Kako bi izračunao poluprečnik opisane kružnice bilo kog trougla ako znaš njegove stranice?

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Nedelja, 18. April 2021, 09:47
od buca
[inlmath]\displaystyle P=\frac{abc}{4R}[/inlmath]?

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Nedelja, 18. April 2021, 16:34
od Kosinus
Radijus opisane kružnice može se izračunati pomoću formule [inlmath]P=\displaystyle\frac{abc}{4R}[/inlmath]

Evo i drugog načina:
jkk trokut radijus opisane kruznice.png
jkk trokut radijus opisane kruznice.png (7.8 KiB) Pogledano 1906 puta


Ovo je baza piramide sa opisanom kružnicom čiji je centar tačka [inlmath]E[/inlmath]. Za pravougli trougao [inlmath]\triangle EDB[/inlmath] postavimo Pitagorinu teoremu:[dispmath]\overline{EB}^2=\overline{ED}^2+\overline{DB}^2[/dispmath] Hipotenuza [inlmath]\overline{EB}[/inlmath] je poluprečnik opisane kružnice: [inlmath]\overline{EB}=R[/inlmath],
kateta [inlmath]\overline{ED}[/inlmath] je jednaka [inlmath]\overline{CD}-\overline{EC}[/inlmath], kako je [inlmath]\overline{CD}=h=2 \sqrt 5\:[/inlmath] i [inlmath]\:\overline{EC}=R[/inlmath], pišemo: [inlmath]\overline{ED}=2 \sqrt 5-R[/inlmath],
kateta [inlmath]\overline{DB}[/inlmath] je polovina osnovice jednakokrakog trougla: [inlmath]\overline{DB}=4[/inlmath]

[dispmath]\overline{EB}^2=\overline{ED}^2+\overline{DB}^2[/dispmath][dispmath]R^2=(2\sqrt 5 - R)^2+4^2[/dispmath][dispmath]R^2=20-4\sqrt 5 R+R^2+16[/dispmath][dispmath]4\sqrt 5 R=36[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{R=\frac{9}{\sqrt 5}}[/dispmath]

Re: Piramida s jednakokrakim trouglom u osnovi – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 22. April 2021, 11:18
od buca
Aham. Hvala, u pravu ste. Dobija se da je [inlmath]\displaystyle H=\frac{18}{\sqrt5}[/inlmath] i onda posle zapremina se lako izracunava.