MATEMANIJA

Sve tri bocne ivice pravilne trostrane piramide imaju duzinu [inlmath]a[/inlmath] i ugao izmedju svake dve od njih je [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Visina te piramide je?
Resenja
[inlmath]A)\;a\cdot\sqrt{\frac{\sqrt3-1}{3}}\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;a\cdot\sqrt{\frac{2\sqrt3+1}{3}}\quad[/inlmath] [inlmath]V)\;a\cdot\sqrt{\frac{\sqrt3+1}{3}}\quad[/inlmath] [inlmath]G)\;\frac{a\cdot\sqrt{1+\sqrt3}}{3}\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\frac{a\cdot\sqrt{\sqrt3-1}}{3}[/inlmath]

Postupak
Osnova piramide mora biti jednakostranicni trougao, duzine [inlmath]2a\cdot\sin15^\circ[/inlmath]
A obrazac za visinu bice [inlmath]\sqrt{a^2-d^2}[/inlmath]
a [inlmath]d[/inlmath] je rastojanje izmedju temena i tezista (tu se formira ugao od [inlmath]30[/inlmath] stepeni) i sad ne znam da li tu da preko pitagore izrazim to [inlmath]d[/inlmath] to me buni
Hvala

Pošto bočne ivice grade iste uglove i jednake su [inlmath]a[/inlmath], osnova piramide biće jednakostranični trougao (a i tekst sugeriše na to), čiju stranicu možeš naći koristeći kosinusnu teoremu
[dispmath]x^2=a^2+a^2-2a^2\cos\frac{\pi}{6}[/dispmath] Nakon toga lako nađeš visinu ako uočiš pravougli trougao koji grade visina piramide, bočna ivica i poluprečnik opisane kružnice osnove (koji ćeš lako naći [inlmath]r=\frac{2}{3}\frac{x\sqrt3}{2}[/inlmath], ovde samo [inlmath]x[/inlmath] izrazi preko [inlmath]a[/inlmath]). Sada lako možeš izračunati [inlmath]H[/inlmath]