Izvođenje formule za površinu pravilnog mnogougla
Poslato: Četvrtak, 19. Septembar 2013, 11:47Svaki pravilni mnogougao sa [inlmath]n[/inlmath] stranica možemo izdeliti na [inlmath]n[/inlmath] jednakokrakih trouglova, međusobno podudarnih, takvih da osnove tih jednakokrakih trouglova predstavljaju stranice mnogougla, a vrhovi su im zajednički i nalaze se u centru pravilnog mnogougla, kao na slici:
Zbir svih uglova pri vrhu tih [inlmath]n[/inlmath] jednakokrakih trouglova iznosi [inlmath]2\pi[/inlmath], a pošto tih uglova ima ukupno [inlmath]n[/inlmath], ugao pri vrhu svakog od tih jednakokrakih trouglova iznosi [inlmath]\frac{2\pi}{n}[/inlmath].
Sada posmatramo jedan od tih jednakokrakih trouglova:
Posmatrajući jednu njegovu polovinu, koja predstavlja pravougli trougao, uočavamo da je
[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{\frac{a}{2}}{h}=\frac{a}{2h}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{a}{2\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}[/dispmath]
pa je površina celog tog jednakokrakog trougla jednaka
[dispmath]P_\triangle=\frac{ah}{2}=\frac{a\cdot\frac{a}{2\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}}{2}=\frac{a^2}{4\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}[/dispmath]
Pošto se [inlmath]n[/inlmath]-tougao sastoji od [inlmath]n[/inlmath] takvih jednakokrakih trouglova, površina traženog [inlmath]n[/inlmath]-tougla iznosi
[dispmath]P=n\cdot P_\triangle[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{P=\frac{na^2}{4\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}}[/dispmath]
Primeri:
– za trougao, [inlmath]n=3[/inlmath]:
[dispmath]P=\frac{3a^2}{4\mathrm{tg}\frac{\pi}{3}}=\frac{3a^2}{4\sqrt 3}=\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/dispmath]
– za kvadrat, [inlmath]n=4[/inlmath]:
[dispmath]P=\frac{\cancel 4a^2}{\cancel 4\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}=\frac{a^2}{1}=a^2[/dispmath]
- mnogougao.png (3.67 KiB) Pogledano 1773 puta
Zbir svih uglova pri vrhu tih [inlmath]n[/inlmath] jednakokrakih trouglova iznosi [inlmath]2\pi[/inlmath], a pošto tih uglova ima ukupno [inlmath]n[/inlmath], ugao pri vrhu svakog od tih jednakokrakih trouglova iznosi [inlmath]\frac{2\pi}{n}[/inlmath].
Sada posmatramo jedan od tih jednakokrakih trouglova:
- jednakokraki trougao.png (1.01 KiB) Pogledano 1773 puta
Posmatrajući jednu njegovu polovinu, koja predstavlja pravougli trougao, uočavamo da je
[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{\frac{a}{2}}{h}=\frac{a}{2h}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{a}{2\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}[/dispmath]
pa je površina celog tog jednakokrakog trougla jednaka
[dispmath]P_\triangle=\frac{ah}{2}=\frac{a\cdot\frac{a}{2\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}}{2}=\frac{a^2}{4\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}[/dispmath]
Pošto se [inlmath]n[/inlmath]-tougao sastoji od [inlmath]n[/inlmath] takvih jednakokrakih trouglova, površina traženog [inlmath]n[/inlmath]-tougla iznosi
[dispmath]P=n\cdot P_\triangle[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{P=\frac{na^2}{4\mathrm{tg}\frac{\pi}{n}}}[/dispmath]
Primeri:
– za trougao, [inlmath]n=3[/inlmath]:
[dispmath]P=\frac{3a^2}{4\mathrm{tg}\frac{\pi}{3}}=\frac{3a^2}{4\sqrt 3}=\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/dispmath]
– za kvadrat, [inlmath]n=4[/inlmath]:
[dispmath]P=\frac{\cancel 4a^2}{\cancel 4\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}}=\frac{a^2}{1}=a^2[/dispmath]