MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 8. jul 2014.
20. zadatak

Pozdrav, zadatak glasi:
Dužina stranice [inlmath]AB[/inlmath] trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] je [inlmath]2\sqrt6\text{ cm}[/inlmath], a unutrašnji ugao naspram te stranice je [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Ako je površina datog trougla [inlmath]\sqrt3\text{ cm}^2[/inlmath], onda je zbir dužina stranica [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]) jednak:
Tačan odgovor je [inlmath]6[/inlmath]

Ja sam dobio tačno rešenje zadatka, setivši se drugog, ređe korišćenog načina, ali me zanima gde sam pogrešio u mom postupku;
Prvo sam iskoristio da je [inlmath]\frac{c}{\sin60^\circ}=2R[/inlmath] odakle nalazim da mi je [inlmath]r=2\sqrt2[/inlmath]. Potom sam iskoristio da je površina svakog trougla [inlmath]\frac{abc}{4R}[/inlmath] odakle dobijam da mi je [inlmath]ab=4[/inlmath] odakle sam izrazio da mi je [inlmath]a=\frac{4}{b}[/inlmath].
Potom sam iskoristio kosinusnu teoremu; [inlmath]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos60^\circ[/inlmath]
[dispmath]24=\frac{16}{b^2}+b^2-2\cdot\frac{4}{b}\cdot b\cdot\frac{1}{2}\\
24=\frac{16}{b^2}+b^2-1[/dispmath] Odavde sam stavio da mi je [inlmath]b^2=t[/inlmath], odakle sledi:
[dispmath]t^2-25t+16=0,\qquad t_{1,2}=\frac{25\pm\sqrt{625-64}}{2}[/dispmath] Ne uočavam gde sam mogao da napravim grešku kod ovog dela.
Hvala unapred na sugestiji.

[dispmath]24=\frac{16}{b^2}+b^2-\color{red}{4}[/dispmath] lakše je da uradiš sledeće [inlmath]24=(a+b)^2-3ab[/inlmath] iz čega odmah sledi da je [inlmath]a+b=6[/inlmath]. Na koji drugi način si rešio?

Hvala na sugestiji, sad vidim gde sam omašio.
Drugi način je baš taj koji si ti navela.

Acim je napisao:Prvo sam iskoristio da je [inlmath]\frac{c}{\sin60^\circ}=2R[/inlmath] odakle nalazim da mi je [inlmath]r=2\sqrt2[/inlmath]. Potom sam iskoristio da je površina svakog trougla [inlmath]\frac{abc}{4R}[/inlmath] odakle dobijam da mi je [inlmath]ab=4[/inlmath]

Proizvod [inlmath]ab[/inlmath] može se naći i bez poluprečnika opisane kružnice, koristeći formulu za površinu trougla preko sinusa: [inlmath]P_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}\sin60^\circ[/inlmath]