MATEMANIJA

Osni presek prave kupe je trougao koji ima jedan ugao od [inlmath]120^\circ[/inlmath]. U kupu je upisan jednakostranican valjak (visina valjka je jednaka precniku osnove valjka) poluprecnika [inlmath]r[/inlmath], tako da mu jedna baza lezi u ravni baze kupe, a druga dodiruje celim obimom omotac kupe. Kolika je povrsina te kupe?
Resenje je [inlmath]\frac{\pi r^2}{3}\left(63+38\sqrt3\right)[/inlmath]

Ako moze pomoc oko ovog problema
Na osnovu ugla osni presek je tupougli? Ali sta mogu da uradim s ovim uglom, znam kako da izracunam povrsinu o.preseka ali kako s uglom?
I da li ovo celim obimom znaci da je omotac valjka jednak omotacu kupe?

Na slici je skiciran osni presjek kupe, plavom bojom je označen presjek valjka.


Formula za površinu kupe je [inlmath]P=M+B=R\pi s+R^2\pi[/inlmath], gdje je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik baze kupe

[inlmath]s=\overline{CB}=\overline{CF}+\overline{FB}[/inlmath]

Iz trougla [inlmath]\triangle EBF[/inlmath] imamo da je [inlmath]\sin30^\circ=\frac{2r}{\overline{FB}}[/inlmath], pa je [inlmath]\overline{FB}=4r[/inlmath]

Iz trougla [inlmath]\triangle HFC[/inlmath] imamo da je [inlmath]\cos30^\circ=\frac{r}{\overline{CF}}[/inlmath], pa je [inlmath]\overline{CF}=\frac{2\sqrt3}{3}r[/inlmath]

Tako dobijemo [inlmath]s=\frac{2\sqrt3}{3}r+4r\quad\to\quad\enclose{box}{s=\frac{2\sqrt3+12}{3}r}[/inlmath]

Treba još odrediti [inlmath]R=\overline{DB}[/inlmath]

Iz trougla [inlmath]\triangle DBC[/inlmath] imamo da je [inlmath]\cos30^\circ=\frac{R}{s}[/inlmath], pa je [inlmath]R=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2\sqrt3+12}{3}r\quad\to\quad\enclose{box}{R=\left(1+2\sqrt3\right)r}[/inlmath]

Sad kad imamo [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath], možemo odrediti površinu kupe: [inlmath]P=R\pi s+R^2\pi=\left(1+2\sqrt3\right)r\pi\frac{2\sqrt3+12}{3}r+\left(1+2\sqrt3\right)^2r^2\pi[/inlmath]
[dispmath]P=\frac{\pi r^2}{3}\left(63+38\sqrt3\right)[/dispmath]