MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 1. jul 2008.
14. zadatak

U trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]AB=4\text{ cm}[/inlmath], [inlmath]AC=4\sqrt3\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]\angle A=30^\circ[/inlmath]. Dužina poluprečnika opisane kružnice tog trougla (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]) je;
Tačan odgovor je; [inlmath]4[/inlmath]

Povlačenjem visine iz temena [inlmath]C[/inlmath], uočavamo pravougli trougao u kome važi da je hipotenuza ([inlmath]4\sqrt3[/inlmath]) duplo veća od katete naspram [inlmath]30^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]4\sqrt3=2h_c[/inlmath], odakle je [inlmath]h_c=2\sqrt3[/inlmath]
Pitagorinom teoremom dobijam da mi je donji odsečak [inlmath]6[/inlmath], što mi nema smisla, jer je cela stranica [inlmath]4[/inlmath], a manja je od njega.
U čemu sam napravio propust?
Ideja je bila da nađem taj donji odsečak, a potom da pronađem i drugi, tako što bih od cele stranice oduzeo taj manji deo koji sam dobio i posle primenio pitagorinu teoremu kako bih dobio stranicu [inlmath]c[/inlmath].

Trougao nije oštrougli kao kod tebe, iz tog razloga ti se ne poklapaju dužine duži. Stranicu [inlmath]CB[/inlmath] možeš jednostavno izračunati primenom kosinusne teoreme.

Hvala, ne setih se u tom momentu da iskoristim to.

Frank je napisao:Trougao nije oštrougli kao kod tebe, iz tog razloga ti se ne poklapaju dužine duži.

E, upravo zbog toga se uvek treba potruditi skicu nacrtati što bolje, da bude što je moguće više u razmeri.
Na tvojoj skici, Acime, [inlmath]4[/inlmath] ispade veće od [inlmath]4\sqrt3[/inlmath], a znamo da upravo važi obrnuto, zar ne?

Jednostavniji način bi bio sledeći:


Ako uočimo trougao [inlmath]\triangle ABD[/inlmath], videćemo da je to polovina jednakostraničnog trougla, pa je [inlmath]AD=\frac{AB\sqrt3}{2}=2\sqrt3[/inlmath], a to je polovina dužine [inlmath]AC[/inlmath]. To znači da je [inlmath]AD=CD[/inlmath].
Odatle sledi, na osnovu stava SUS, da su trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle CBD[/inlmath] podudarni, a odatle da je i [inlmath]BC=AB=4[/inlmath].
Sad imamo sve stranice trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Da bismo mogli primeniti formulu [inlmath]R=\frac{abc}{4P}[/inlmath] (gde je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik opisane kružnice), potrebno je da odredimo još površinu trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], a to možemo primenom formule [inlmath]P=\frac{ab}{2}\sin\gamma[/inlmath]. Možemo i tako što odredimo površinu pravouglog trougla [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] (pri čemu je odmah vidljivo da je [inlmath]BD=\frac{1}{2}AB=2[/inlmath], pa tu površinu pomnožimo sa [inlmath]2[/inlmath]...