Dužina tetive – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Ponedeljak, 14. Jun 2021, 16:50
od buca
Prijemni ispit FON – 7. septembar 2017.
12. zadatak


Tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] pripadaju kružnici čiji je poluprečnik jednak [inlmath]\sqrt2\text{ cm}[/inlmath]. Ako je [inlmath]\angle ABC=45^\circ[/inlmath], onda dužina tetive [inlmath]AC[/inlmath] iznosi: [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath]

Nije mi jasno kako da nacrtam sliku? Ja u teoriji mogu da postavim ove tacke bilo gde na kruznici i bilo koji ugao moze biti ugao [inlmath]\angle ABC[/inlmath].

Re: Dužina tetive – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Ponedeljak, 14. Jun 2021, 17:25
od Vivienne
Kako je oko [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] opisan krug poluprečnika [inlmath]\sqrt2[/inlmath] i kako je stranica [inlmath]AC[/inlmath] naspram ugla od [inlmath]45^\circ[/inlmath] primeni samo sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{AC}{\sin45^\circ}=2R[/dispmath]

Re: Dužina tetive – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Ponedeljak, 14. Jun 2021, 17:48
od Frank
Trougao [inlmath]AOC[/inlmath] ([inlmath]O[/inlmath] - centar kruga) je pravougli, pa je dovoljno primeniti Pitagorinu teoremu.

Re: Dužina tetive – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Sreda, 23. Jun 2021, 18:37
od buca
Hvala na odgovorima. Mene je samo bunilo kako da nacrtam sliku, jer je skroz proizvoljna. Tehnicki, ja sam valjda mogao tacke da rasporedim bilo gde.

Frank je napisao:Trougao [inlmath]AOC[/inlmath] ([inlmath]O[/inlmath] - centar kruga) je pravougli, pa je dovoljno primeniti Pitagorinu teoremu.

Jel to uvek vazi za sve tetive?

Re: Dužina tetive – prijemni FON septembar 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 24. Jun 2021, 09:56
od Daniel
Ako je tvoje pitanje da li za sve tetive važi da njene krajnje tačke i centar kružnice obrazuju pravougli trougao – ne, to ne važi za sve tetive.

Za svaku tetivu važi da je centralni ugao nad tom tetivom dvaput veći od periferijskog ugla nad tom tetivom (kada je teme periferijskog ugla s iste strane tetive kao i centar kružnice):

centralni i periferijski ugao.png
centralni i periferijski ugao.png (1.6 KiB) Pogledano 662 puta

E pošto je ovde periferijski ugao [inlmath]\angle ABC=45^\circ[/inlmath], onda je periferijski ugao dvaput veći, tj. [inlmath]\angle AOC=90^\circ[/inlmath].

Frank je napisao:Trougao [inlmath]AOC[/inlmath] ([inlmath]O[/inlmath] - centar kruga) je pravougli, pa je dovoljno primeniti Pitagorinu teoremu.

A pošto je taj pravougli trougao istovremeno i jednakokrak, možemo i bez Pitagorine, ako primenimo formulu za dijagonalu kvadrata.