MATEMANIJA

Dat je kvadrat stranice dužine [inlmath]5\text{ cm}[/inlmath]. Kružnica sadrži dva susedna temena kvadrata i dodiruje stranicu naspram temena koje sadrži. Koliki je poluprečnik kružnice?

Ja sam pokušala da rešim preko pravouglog trougla kojem su stranice [inlmath]r[/inlmath] i polovina stranice kvadrata. Dobijem da je treća stranica:
[dispmath]x=a-r[/dispmath] i da je
[dispmath]r^2=x^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2[/dispmath] [inlmath]x+r[/inlmath] povezuje dodirnu tačku stranice kvadrata i kružnice i sredinu naspramne stranice. Na kraju dobijem da je [inlmath]r=3.125[/inlmath] a u rešenju je [inlmath]r=3.75[/inlmath]

Gde sam pogrešila? Hvala unapred!

Nigde nisi pogrešila, tačno je rešenje [inlmath]r=3,125\text{ cm}[/inlmath]. Potpuno isti rezultat se dobije i ako se radi pomoću veze između površine trougla i poluprečnika njegove opisane kružnice. Površina trougla čija su temena zajedničke tačke kvadrata i kružnice biće jednaka polovini kvadrata, tj. [inlmath]P_\triangle=\frac{a^2}{2}[/inlmath]. Jedna stranica tog trougla je stranica kvadrata [inlmath]a[/inlmath], a druge dve stranice su jednake [inlmath]\frac{a\sqrt5}{2}[/inlmath] (preko Pitagorine teoreme). Na osnovu formule [inlmath]R=\frac{abc}{4P_\triangle}[/inlmath] ([inlmath]R[/inlmath] je poluprečnik opisane kružnice, [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] stranice trougla) dobija se [inlmath]R=\frac{5}{8}a=3,125\text{ cm}[/inlmath]

U redu, hvala puno!