MATEMANIJA

Od kocke ivice [inlmath]2+\sqrt2[/inlmath] odsečeno je [inlmath]8[/inlmath] rogljeva (piramidica) tako da od svake strane kocke ostane pravilan osmougao. Naći zapreminu dobijenog tela.
Rjesenje je [inlmath]\left(2+\sqrt2\right)^3-\frac{4}{3}[/inlmath]

Uspijem nacrtati semu kako to izgleda i vizualizovati u glavi, no muci me da shvatim sve ivice piramide. U zbirci je postavljena jednacina [inlmath]\frac{x}{\sqrt2}+x+\frac{x}{\sqrt2}=2+\sqrt2[/inlmath], a [inlmath]y=\frac{x}{\sqrt2}[/inlmath]
Preko seme shvatim da se to odnosi na stranice osmougla, ali mi nije jasno odakle smo izveli tu formulu

Na slici je prikazana jedna strana kocke


Kao što je označeno na slici, unutrašnji uglovi osmougla su po [inlmath]135^\circ[/inlmath], a vanjski uglovi su po [inlmath]45^\circ[/inlmath].
Ako posmatramo [inlmath]\triangle EBG[/inlmath], onda je:
[dispmath]\cos45^\circ=\frac{\overline{EB}}{x}=\frac{\overline{BG}}{x}[/dispmath][dispmath]\overline{EB}=\overline{BG}=\frac{x}{\sqrt2}[/dispmath] Vidi se sa slike da je [inlmath]\frac{x}{\sqrt2}+x+\frac{x}{\sqrt2}=2+\sqrt2[/inlmath], pa je [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath].
Dalje je lako izračunati zapreminu jedne piramide: [inlmath]V=\frac{1}{6}[/inlmath].
Zapreminu nastalog tijela dobijemo kada od zapremine kocke oduzmemo [inlmath]8[/inlmath] zapremina piramida. [inlmath]V=\left(2+\sqrt2\right)^3-\frac{4}{3}[/inlmath]

S tim, da kosinus iz Kosinusovog postupka i nije neophodan. Za trougao [inlmath]\triangle EBG[/inlmath] vidi se da je pravougli i jednakokraki, prema tome, možemo ga posmatrati kao polovinu kvadrata čije su stranice [inlmath]EB[/inlmath] i [inlmath]BG[/inlmath], a dijagonala [inlmath]EG[/inlmath]. A znamo da je dijagonala kvadrata [inlmath]\sqrt2[/inlmath] puta duža od njegove stranice.