Dat je jednakokraki trapez čije se dijagonale seku pod pravim uglom, pri čemu su dužine odsečaka dijagonala u odnosu [inlmath]3:1[/inlmath]. Duža osnovica trapeza je [inlmath]a=6[/inlmath]. Izračunati površinu datog trapeza.
Navedeni zadatak je sa prijemnog FTNa 2017. godine. Ono što me zanima je da li postoji samo jedan takav trapez kao što su oni naveli u rješenju gdje je duži odsječak dijagonale [inlmath]3\sqrt2[/inlmath] ili postoji još jedan gdje je duži odsječak [inlmath]\frac{3}{2}\sqrt2[/inlmath].
Moja ideja je bila da preko sličnosti trouglova koje grade odsječci dijagonala i osnove odredim kraću osnovu [inlmath]b=2[/inlmath] i da preko pravouglog trougla čije katete su kraći ([inlmath]k[/inlmath]) i duži odsječak ([inlmath]3k[/inlmath]) odredim da je krak [inlmath]c=k\sqrt{10}[/inlmath].
Zatim preko trougla koji grade duži odsječci i duža osnova [inlmath]a[/inlmath] postavim jednačinu
[dispmath]\frac{6h_1}{2}=\frac{9k^2}{2}[/dispmath] (površina trougla gdje je [inlmath]h_1[/inlmath] visina tog trougla). Odatle dobijam da je [inlmath]h_1=\frac{3k^2}{2}[/inlmath] odakle slijedi da je visina manjeg sličnog trougla koji grade kraći odsječci i kraća osnova [inlmath]h_2=\frac{k^2}{2}[/inlmath] jer je [inlmath]h_2=\frac{h_1}{3}[/inlmath]. Odatle slijedi da je visina trapeza
[dispmath]H=h_1+h_2=2k^2[/dispmath] Zatim sam preko pravouglog trougla koji grade visina trapeza, krak i odsječak duže osnove koji je jednak [inlmath]\frac{a-b}{2}=2[/inlmath] uz pomoć pitagorine teoreme preko koje dobijem jednačinu
[dispmath]4k^4-10k^2+4=0[/dispmath] odakle dobijam da je
[dispmath]k_1=\sqrt2[/dispmath] i
[dispmath]k_2=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] pa samim tim i dva moguća trapeza.
Nadam se da ste shvatili moju ideju i da ćete mi pomoći da shvatim zašto ne može drugo rješenje.
Hvala unaprijed!