Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Jednakokraki trapez – prijemni FTN 2017.

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Jednakokraki trapez – prijemni FTN 2017.

Postod tekisha » Petak, 18. Jun 2021, 21:05

Dat je jednakokraki trapez čije se dijagonale seku pod pravim uglom, pri čemu su dužine odsečaka dijagonala u odnosu [inlmath]3:1[/inlmath]. Duža osnovica trapeza je [inlmath]a=6[/inlmath]. Izračunati površinu datog trapeza.

Navedeni zadatak je sa prijemnog FTNa 2017. godine. Ono što me zanima je da li postoji samo jedan takav trapez kao što su oni naveli u rješenju gdje je duži odsječak dijagonale [inlmath]3\sqrt2[/inlmath] ili postoji još jedan gdje je duži odsječak [inlmath]\frac{3}{2}\sqrt2[/inlmath].
Moja ideja je bila da preko sličnosti trouglova koje grade odsječci dijagonala i osnove odredim kraću osnovu [inlmath]b=2[/inlmath] i da preko pravouglog trougla čije katete su kraći ([inlmath]k[/inlmath]) i duži odsječak ([inlmath]3k[/inlmath]) odredim da je krak [inlmath]c=k\sqrt{10}[/inlmath].
Zatim preko trougla koji grade duži odsječci i duža osnova [inlmath]a[/inlmath] postavim jednačinu
[dispmath]\frac{6h_1}{2}=\frac{9k^2}{2}[/dispmath] (površina trougla gdje je [inlmath]h_1[/inlmath] visina tog trougla). Odatle dobijam da je [inlmath]h_1=\frac{3k^2}{2}[/inlmath] odakle slijedi da je visina manjeg sličnog trougla koji grade kraći odsječci i kraća osnova [inlmath]h_2=\frac{k^2}{2}[/inlmath] jer je [inlmath]h_2=\frac{h_1}{3}[/inlmath]. Odatle slijedi da je visina trapeza
[dispmath]H=h_1+h_2=2k^2[/dispmath] Zatim sam preko pravouglog trougla koji grade visina trapeza, krak i odsječak duže osnove koji je jednak [inlmath]\frac{a-b}{2}=2[/inlmath] uz pomoć pitagorine teoreme preko koje dobijem jednačinu
[dispmath]4k^4-10k^2+4=0[/dispmath] odakle dobijam da je
[dispmath]k_1=\sqrt2[/dispmath] i
[dispmath]k_2=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] pa samim tim i dva moguća trapeza.
Nadam se da ste shvatili moju ideju i da ćete mi pomoći da shvatim zašto ne može drugo rješenje.
Hvala unaprijed!
tekisha  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Jednakokraki trapez – prijemni FTN 2017.

Postod Acim » Petak, 18. Jun 2021, 21:24

Nisam siguran zbog čega neće na tvoj način, ali ovde po meni nema potrebe za sličnosti trouglova;
Kako je u zadatku navedeno da se dijagonale seku pod pravim uglom, to znači da se površina trapeza u ovom slučaju računa [inlmath]\frac{d^2}{2}[/inlmath] i generalno isto bi se u tom slučaju računala površina bilo kog četvorougla ako mu se dijagonale seku pod pravim uglom.
Na osnovu slike, vidimo da je svuda prav ugao, upravo iz razloga navedenog iznad. Prvo treba da dobiješ [inlmath]x[/inlmath];
[inlmath]36=9x^2+9x^2[/inlmath] tj. [inlmath]x=\sqrt2[/inlmath]. Isto tako primeniš za trougao iznad kako bi dobio stranicu [inlmath]b[/inlmath] (mada ti nije potrebna za zahtev pod a)
Kako je cela dijagonala trapeza [inlmath]4x[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]d=4\sqrt2[/inlmath] i posle lako dobijaš površinu i sve ostalo.
Prikačeni fajlovi
trapez.png
trapez.png (2.15 KiB) Pogledano 137 puta
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 245
Zahvalio se: 133 puta
Pohvaljen: 53 puta

Re: Jednakokraki trapez – prijemni FTN 2017.

Postod tekisha » Petak, 18. Jun 2021, 21:31

Jasna mi je ta ideja i uradio sam i na taj način ali me zanimalo zbog čega prva ideja nije dobra. Svakako hvala na odgovoru!
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 19. Jun 2021, 20:23, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklanjanje suvišnog citata – tačka 15. Pravilnika
tekisha  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Jednakokraki trapez – prijemni FTN 2017.

Postod Daniel » Nedelja, 18. Jul 2021, 19:38

Nije ništa neuobičajeno da rešavanjem kvadratne jednačine dobijemo jedno rešenje koje prihvatamo, i jedno rešenje koje odbacujemo.
Odbacujemo ono rešenje koje ne zadovoljava neki od uslova koje smo u startu postavili. Ovde smo, konkretno, posmatrajući jednakokraki pravougli trougao s katetama [inlmath]3k[/inlmath] i hipotenuzom [inlmath]a[/inlmath], mogli postaviti uslov da zbir dve katete mora biti veći od hipotenuze (nejednakost trougla). Rešenje [inlmath]k_2=\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] ne bi ispunjavalo taj uslov, jer bi [inlmath]3k_2+3k_2=3\sqrt2[/inlmath] bilo manje od [inlmath]6[/inlmath]. (Mada se na osnovu tog trougla odmah može sasvim jednostavno i izračunati dužina [inlmath]3k[/inlmath], kao što je Acim i uradio.)
Čak, ovde nisi imao kvadratnu već bikvadratnu jednačinu, koja bi imala još i rešenja [inlmath]k_3=-\sqrt2[/inlmath] i [inlmath]k_4=-\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]. Pa sigurno ne bismo razmatrali i ta negativna rešenja? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4732 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 12 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. Decembar 2021, 14:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs