MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2021.
19. zadatak

Ako su katete pravouglog trougla dužina [inlmath]5\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]12\text{ cm}[/inlmath], onda je rastojanje između centra upisane i centra opisane kružnice datog trougla jednako;
Tačan odgovor je [inlmath]\frac{\sqrt{65}}{2}\text{ cm}[/inlmath]

Sa skice koju sam nacrtao (rekao bih kako ne treba), nisam siguran kako da izračunam to rastojanje. Našao sam da mi je poluprečnik upisane kružnice [inlmath]2[/inlmath], a opisane [inlmath]\frac{13}{2}[/inlmath]. Dalje ne znam kako bih uradio.
Hvala unapred.

Pravilno nacrtana slika će ti uvijek pomoći:

Pogledaj ovo.

@Acime, tačka dodira upisane kružnice i hipotenuze ne polovi hipotenuzu (kao što na tvojoj skici izgleda). Ne daj se tu zbuniti.
I, ne razumem ovu elipsu na tvojoj skici, u tekstu zadatka ne pominje se nikakva elipsa.

Po meni, najlakše je primeniti Pitogorinu teoremu, na osnovu Kosinusove skice.

Daniel je napisao:tačka dodira upisane kružnice i hipotenuze ne polovi hipotenuzu (kao što na tvojoj skici izgleda).

Taman posla, nije mi to palo ni na kraj pameti, nego smotano crtam za Oskara pa ispada tako kako ispada hehe

Daniel je napisao:I, ne razumem ovu elipsu na tvojoj skici, u tekstu zadatka ne pominje se nikakva elipsa.

To mi je u stvari krug opisan oko pravouglog trougla, ali zaista liči na elipsu.

Daniel je napisao:Po meni, najlakše je primeniti Pitogorinu teoremu, na osnovu Kosinusove skice.

Na koji si tačno deo mislio za Pitagorinu teoremu? I ja sam imao sličnu ideju u vidu ali ne uviđam još uvek gde tačno da je iskoristim.

Acim je napisao:Na koji si tačno deo mislio za Pitagorinu teoremu? I ja sam imao sličnu ideju u vidu ali ne uviđam još uvek gde tačno da je iskoristim.

Zeleni trougao:

Analiticka. Uzeti da je koordinatni pocetak teme pravog ugla. Centar opisane kruznice je tacka [inlmath]S\left(6,\frac{5}{2}\right)[/inlmath]. Centar upisane kruznice, posle [inlmath]r=2[/inlmath], je tacka [inlmath]F(2,2)[/inlmath]. Trazena udaljenost je direktno [inlmath]\frac{\sqrt{65}}{2}[/inlmath].

Meni je pomoglo da sve nacrtam u koordinatnom sistemu. Duza kateta zelenog pravouglog trougla sa slike gore je [inlmath]4[/inlmath] a kraca [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Pitagorinom sam dobio tacno resenje. Valjda je ovaj proces ispravan.

Jeste ispravan. Zelene katetete su [inlmath]6-2=4[/inlmath] i [inlmath]\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}[/inlmath]. To je u stvari konkretno izvodjenje obrasca za udaljenost izmedju dve tacke.