MATEMANIJA

Zadatak sa školskog takmicenja iz matematike III razred. Samo njega nisam uspio uraditi, nisam imao nikakvu ideju za rjesenje.
1. Dat je paralelogram [inlmath]ABCD[/inlmath] i tačka [inlmath]P[/inlmath] u njemu.
Dokazati da je [inlmath]P_{\triangle ABP}+P_{\triangle CDP}=P_{\triangle ADP}+P_{\triangle BCP}[/inlmath]

Rastojanje tačke [inlmath]P[/inlmath] od stranice [inlmath]AB[/inlmath] označi npr. sa [inlmath]x[/inlmath], a rastojanje tačke [inlmath]P[/inlmath] od stranice [inlmath]CD[/inlmath] označi sa [inlmath]h-x[/inlmath] (gde je [inlmath]h[/inlmath] visina paralelograma na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]).
Zatim napiši formule za površine trouglova [inlmath]\triangle ABP[/inlmath] i [inlmath]\triangle CDP[/inlmath] i saberi te dve površine. Dobićeš da je zbir te dve površine jednak polovini zbira površine paralelograma.

Naravno, analognim postupkom je moguće pokazati i da je zbir površina trouglova [inlmath]\triangle ADP[/inlmath] i [inlmath]\triangle BCP[/inlmath] takođe jednak polovini površine paralelograma.