Stranica 1 od 1

Rotacija pravouglog trougla

PostPoslato: Nedelja, 22. Maj 2022, 14:57
od milan7654
Pozdrav,

Dat je pravougli trougao sa katetama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] i hipotenuzom [inlmath]c[/inlmath]. Neka su [inlmath]V_a[/inlmath], [inlmath]V_b[/inlmath] i [inlmath]V_c[/inlmath] redom zapremine tela koja nastaju rotacijom trougla oko tih kateta i hipotenuze. Tada je [inlmath]V_a^{-2}+V_b^{-2}-V_c^{-2}[/inlmath] jednako:

Rešenje: [inlmath]0[/inlmath]

Nemam nikakvu ideju kako se ovo radi.

Re: Rotacija pravouglog trougla

PostPoslato: Nedelja, 22. Maj 2022, 21:56
od miletrans
Da uzmemo prvo telo koje nastaje rotacijom oko katete [inlmath]a[/inlmath]. Da li možeš da vizuelizuješ koje je to telo? Nacrtaj skicu i pogledaj kako da izraziš zapreminu dobijenog tela u zavisnosti od dužina kateta [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] (za ovo telo ti nije bitna dužina hipotenuze). Onda pokušaj da isto uradiš sa rotacijom oko katete [inlmath]b[/inlmath].

Kada budeš analizirao telo koje nastaje rotacijom oko hipotenuze (ovde će ti već trebati [inlmath]c[/inlmath]), podeli to telo na dva dela i dalje ne bi trebalo da bude problema. Mislim da je glavni problem da predstaviš sebi kako izgledaju sva tri tela. Zato preporučujem skicu (kao i u velikoj većini zadataka iz geometrije).

Re: Rotacija pravouglog trougla

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Maj 2022, 13:53
od milan7654
Razumem da telo koje se dobija rotiranjem oko katete [inlmath]a[/inlmath] je kupa. Sad na osnovu toga pokušavao sam da nađem zapreminu [inlmath]V_a[/inlmath] i dobijo sam ovo:
[dispmath]V_a=\frac{1}{3}h_a^2a\pi[/dispmath] Sad ovaj izraz [inlmath]V_a=\frac{1}{3}h_a^2a\pi[/inlmath] može biti jednak [inlmath]V_a=\frac{1}{3}h_a^2a\pi=\frac{4\pi S^2}{3a}[/inlmath] jer je površina trougla [inlmath]S=\frac{1}{2}a\cdot h_a[/inlmath] pa tako dalje mogu isto da dobijem [inlmath]V_b=\frac{4\pi S^2}{3b}[/inlmath] i [inlmath]V_c=\frac{4\pi S^2}{3c}[/inlmath] ali kad dignem na [inlmath]^{-2}[/inlmath] ne dobijam traženo rešenje [inlmath]0[/inlmath] već potpuno drugačije rešenje.

Verovatno meni ništa od ovoga nije tačno :dash:

Re: Rotacija pravouglog trougla

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Maj 2022, 14:17
od Daniel
Dizanjem na [inlmath]^{-2}[/inlmath] dobije se tačno rešenje, proveri još jednom.
Inače, možda si prevideo da se rotacijom oko hipotenuze [inlmath]c[/inlmath] ne dobija kupa nego se dobiju dve kupe koje imaju zajedničku osnovu. Ali, to ne utiče na rezultat jer je [inlmath]\frac{1}{3}\pi h_c^2x+\frac{1}{3}\pi h_c^2(c-x)=\frac{1}{3}\pi h_c^2(\cancel x+c-\cancel x)=\frac{1}{3}\pi h_c^2c[/inlmath].

Re: Rotacija pravouglog trougla

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Maj 2022, 18:32
od milan7654
Kako?
[dispmath]V_a^{-2}+V_b^{-2}-V_c^{-2}=\left(\frac{4\pi S^2}{3a}\right)^{-2}+\left(\frac{4\pi S^2}{3b}\right)^{-2}-\left(\frac{4\pi S^2}{3c}\right)^{-2}[/dispmath][dispmath]\left(\frac{3a}{4\pi S^2}\right)^2+\left(\frac{3b}{4\pi S^2}\right)^2-\left(\frac{3c}{4\pi S^2}\right)^2[/dispmath][dispmath]\frac{9a^2}{16\pi^2S^4}+\frac{9b^2}{16\pi^2S^4}-\frac{9c^2}{16\pi^2S^4}[/dispmath][dispmath]\frac{9a^2+9b^2-9c^2}{16\pi^2S^4}???[/dispmath]

Re: Rotacija pravouglog trougla

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Maj 2022, 18:47
od ubavic
Koliko je [inlmath]9a^2+9b^2[/inlmath] ako znamo da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] katete pravouglog trougla?

Re: Rotacija pravouglog trougla

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Maj 2022, 19:08
od milan7654
Aha to je [inlmath]9c^2[/inlmath] pa se dobija nula gore. Hvala na pomoći :thumbup: