MATEMANIJA

Pozdrav svima imam problem oko zadatka u kome je dato da je osnovica jednakokrakog trougla [inlmath]a=30[/inlmath], a poluprečnik upisanog kruga [inlmath]r=7,5[/inlmath]. Odrediti površinu [inlmath]P[/inlmath].

Znam da je
[dispmath]h_a^2=b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2[/dispmath] I znam formulu za površinu ali ne mogu da dobijem [inlmath]h_a[/inlmath], da bi na kraju rešenje bilo [inlmath]P=300[/inlmath].

Neka je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] sa osnovicom [inlmath]AB=a[/inlmath] i kracima [inlmath]CA=CB=b[/inlmath]. Krug upisan u trougao sa centrom [inlmath]O[/inlmath] neka dodiruje osnovicu u [inlmath]D[/inlmath], a krak [inlmath]CA[/inlmath] dodiruje u tački [inlmath]E[/inlmath].
Potrebno je primetiti da je [inlmath]AE=AD=a/2[/inlmath] (tangente kruga iz jedne tačke su jednake).

Jedan pravougli trougao je [inlmath]ACD[/inlmath] i tu si Pitagorinom teoremom dobio jednu jednačinu.
Drugi pravougli trougao je [inlmath]OCE[/inlmath] sa stranicama [inlmath]r[/inlmath], [inlmath]h-r[/inlmath] i [inlmath]b-a/2[/inlmath], pa opet Pitagorina teorema. Sada imaš sistem od dve jednačine i dve nepoznate (čije je rešenje [inlmath]b=25[/inlmath] i [inlmath]h=20[/inlmath])

Drugi način je pomoću sličnosti trouglova [inlmath]ACD[/inlmath] i [inlmath]OCE[/inlmath] (jednaki odgovarajući uglovi). Tada su odgovarajuće stranice u razmeri, pa je


Iz ove proširene proporcije odaberi bilo koje dve proporcije i opet ćeš dobiti sistem od dve jednačine i dve nepoznate. Npr:



Iz prve izrazi [inlmath]b[/inlmath] preko [inlmath]h[/inlmath] i zameni u drugu…

Ukoliko je dozvoljeno preko trigonometrije, ja bih dao blagu prednost tom načinu.
Nađe se tangens ugla [inlmath]\angle OAD[/inlmath] (oznake kao u Faretovom postu).
Zatim se nađe tangens ugla [inlmath]\angle CAD[/inlmath], pri čemu je [inlmath]\angle CAD[/inlmath] dvaput veći od [inlmath]\angle OAD[/inlmath] (koristiti formulu za tangens dvostrukog ugla).
Tangens ugla [inlmath]\angle CAD[/inlmath] jednak je količniku visine i polovine osnovice, pa se odatle lako odredi visina.