MATEMANIJA

Pozdrav!
Treba mi pocetna ideja za resavanje sledeceg zadatka:
Dijagonala [inlmath]AC[/inlmath] i krak [inlmath]BC[/inlmath] jednakokrakog trapeza [inlmath]ABCD[/inlmath] su uzajamno normalni. Ako su [inlmath]2a[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath] osnovice trapeza, kolika je njegova povrsina?

Izdvojio sam zadatak u posebnu temu pošto je prethodni zadatak sa prijemnog (a ni zadaci nisu baš toliko slični) pa da ne bude zabune.

Što se ovog zadatka tiče, mislim da je ključna informacija da je visina na hipotenuzi (znamo da je [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] pravougli trougao) jednaka geometrijskoj sredini odsečaka na njoj. Mislim da dalje nema problema, a ako bude reci da radimo dalje.

Naravno, standardno za geometriju, skica je "pola obavljenog posla".

U redu, znaci kod trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] visina deli hipotenuzu na dva jednaka dela. Za izracunavanje povrsine, imam date stranice [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], treba da nadjem visinu. Napisala sam da je [inlmath]d^2=(2a-x)^2+h^2[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath] je u stvari [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath]. I sad treba da nadjem visinu?

Ne, ne, možda se ja nisam najjasnije izrazio u prethodnom postu. Možda je trebalo da kažem da je visina jednaka geometrijskoj sredini dužina odsečaka na hipotenuzi. A i nema baš logike da visina uvek polovi hipotenuzu.

Ne znam koji je nivo matematike u pitanju. Da li ste učili geometrijsku sredinu brojeva?

Jao, ne, ja sam se zbunila. Nisam dobro nacrtala skicu, pa mi je zato lose ispalo. Tezisna duz deli hipotenuzu na dva jednaka dela Izvinjavam se, lapsus.
Mozete li da mi pomognete oko ovog zadatka?

Znamo da nam za površinu trapeza treba središnja linija (ovo ne bi trebalo da bude problem) i visina. Znači, treba da odredimo visinu u zavisnosti od osnovica trapeza (pošto su nam osnovice zadate preko parametra [inlmath]a[/inlmath]). Posmatramo trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] za koji znamo da je pravougli i da mu je hipotenuza dužine [inlmath]2a[/inlmath]. Jasno je da je visina ovog trougla jednaka visini trapeza. Obeležimo sa [inlmath]E[/inlmath] podnožje visine na hipotenuzu. Imajući u vidu da govorimo o jednakokrakom trapezu, kolika je dužina duži [inlmath]AE[/inlmath], a kolika [inlmath]EB[/inlmath]? Geometrijska sredina ova dva broja je dužina duži [inlmath]CE[/inlmath], koja je zapravo visina i trougla i trapeza.

Srednja linija trapeza je [inlmath]m=\frac{a+b}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]m=2a[/inlmath].
[inlmath]AE=2a-EB[/inlmath], a kako sad da odredim visinu?

Sad je nastala opšta papazjanija sa oznakama.

Ema K je napisao:Srednja linija trapeza je [inlmath]m=\frac{a+b}{2}... \qquad ...AE=2a-EB[/inlmath]

Ova dva mala slova [inlmath]a[/inlmath] ne predstavljaju istu stvar. Navikli smo da dužu osnovicu trapeza označavamo sa [inlmath]a[/inlmath], ali u tekstu zadatka lepo piše:

Ema K je napisao:Ako su [inlmath]2a[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath] osnovice trapeza...

Dakle, jedna osnovica je [inlmath]a[/inlmath], druga je [inlmath]2a[/inlmath], a srednja linija je [inlmath]m=\frac{3a}{2}[/inlmath].

Što se tiče visine, znamo da [inlmath]AE+EB=2a[/inlmath] (napominjem da [inlmath]a[/inlmath] koje sam naveo ovde nije dužina veće osnove). Kolika je dužina [inlmath]AE[/inlmath], a kolika [inlmath]EB[/inlmath] u zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath]? Ovu informaciju dobijamo iz činjenice da te trapez jednakokraki.

U zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]EB=\frac{a}{2}[/inlmath], a [inlmath]AE=\frac{3a}{2}[/inlmath].

Tako je. Koliko iznosi geometrijska sredina ta dva broja? To će biti vrednost visine trougla (i trapeza).