MATEMANIJA

Potrebni su mi postupci za ova dva zadatka, pa molim za pomoc i unapred hvala!

1. Pravilna prizma i pravilna cetverostrana zarubljena piramida imaju jednake visine. Osnova prizme jednaka je srednjem paralelnom presjeku zarubljene piramide. Odrediti razliku zapremina oba tijela ako su osnovne ivice zarubljene piramide [inlmath]20\:\mbox{cm}[/inlmath] i [inlmath]18\:\mbox{cm}[/inlmath], a visina [inlmath]6\:\mbox{m}[/inlmath].

2. U pravougli trougao upisana je kruznica cije je srediste na hipotenuzi, koje dira obje katete. Srediste polukruznice dijeli hipotenuzu na odsjecke duzina [inlmath]15[/inlmath] i [inlmath]20[/inlmath]. Izracunaj duzinu kruznog luka koji lezi izmedju dodirnih tacaka polukruznice i kateta.

Sto se tice drugog zadatka, moguce je da je neka greska i da kruznica nije upisana u trougao ali sam ga dobila tako postavljen.

Evo ga, prvi post u 2013. godini! Čestitam!
I dobro nam došla na forum.

Pedagoski_Matematika je napisao:1. Pravilna prizma i pravilna cetverostrana zarubljena piramida imaju jednake visine. Osnova prizme jednaka je srednjem paralelnom presjeku zarubljene piramide. Odrediti razliku zapremina oba tijela ako su osnovne ivice zarubljene piramide [inlmath]20\:\mbox{cm}[/inlmath] i [inlmath]18\:\mbox{cm}[/inlmath], a visina [inlmath]6\:\mbox{m}[/inlmath].

Srednji paralelni presek ove zarubljene piramide će biti kvadrat čija je ivica jednaka aritmetičkoj sredini osnovnih ivica zarubljene piramide, tj. [inlmath]\frac{1}{2}\left(20+18\right)=19\:\mbox{cm}[/inlmath], a taj kvadrat će, prema postavci zadatka, biti i osnova date pravilne četvorostrane prizme.

Zapremina prizme će biti:
[dispmath]V_{PR}=B\cdot H[/dispmath]
gde je [inlmath]B[/inlmath] površina osnove, a [inlmath]H[/inlmath] visina.
[dispmath]V_{PR}=19^2\cdot 6[/dispmath]
[dispmath]\underline{V_{PR}=2166\:\mbox{cm}^3}[/dispmath]

Zapremina zarubljene piramide je:
[dispmath]V_{PIR}=\frac{H}{3}\left(B+\sqrt{Bb}+b\right)[/dispmath]
gde je [inlmath]B[/inlmath] površina veće osnove, [inlmath]b[/inlmath] površina manje osnove, a [inlmath]H[/inlmath] visina.
[dispmath]V_{PIR}=\frac{6}{3}\left(20^2+\sqrt{20^2\cdot 18^2}+18^2\right)[/dispmath]
[dispmath]V_{PIR}=2\left(20^2+20\cdot 18+18^2\right)[/dispmath]
[dispmath]V_{PIR}=2\cdot 4\left(10^2+10\cdot 9+9^2\right)[/dispmath]
[dispmath]V_{PIR}=8\left(100+90+81\right)[/dispmath]
[dispmath]V_{PIR}=8\cdot 271[/dispmath]
[dispmath]\underline{V_{PIR}=2168\:\mbox{cm}^3}[/dispmath]
I, kada oduzmemo ove dve dobijene zapremine, biće:
[dispmath]V_{PIR}-V_{PR}=2168\:\mbox{cm}^3-2166\:\mbox{cm}^3[/dispmath]
[dispmath]\underline{V_{PIR}-V_{PR}=2\:\mbox{cm}^3}[/dispmath]
Uskoro će i rešenje drugog...

Pedagoski_Matematika je napisao:2. U pravougli trougao upisana je kruznica cije je srediste na hipotenuzi, koje dira obje katete. Srediste polukruznice dijeli hipotenuzu na odsjecke duzina [inlmath]15[/inlmath] i [inlmath]20[/inlmath]. Izracunaj duzinu kruznog luka koji lezi izmedju dodirnih tacaka polukruznice i kateta.

Sto se tice drugog zadatka, moguce je da je neka greska i da kruznica nije upisana u trougao ali sam ga dobila tako postavljen.

Naravno, da bi kružnica bila upisana u trougao, ona mora iznutra dodirivati sve stranice trougla. Ova kružnica dodiruje katete, ali hipotenuzu seče, tako da ta kružnica nije upisana. Ali, OK, razumeo sam zadatak.


Posmatramo prvo četvorougao [inlmath]CMON[/inlmath]. Pošto su uglovi [inlmath]\angle CMO[/inlmath] i [inlmath]\angle ONC[/inlmath] pravi uglovi, a [inlmath]\angle MCN[/inlmath] je takođe prav (jer se radi o pravouglom trouglu), zaključujemo da ugao [inlmath]\angle MON[/inlmath] mora biti takođe prav.
Zbog toga će luk [inlmath]l[/inlmath] biti jednak četvrtini obima kružnice, tj. biće
[dispmath]l=\frac{1}{4}2\pi r[/dispmath]
[dispmath]l=\frac{\pi r}{2}[/dispmath]
Potrebno je naći poluprečnik [inlmath]r[/inlmath].

Posmatramo sličnost trouglova [inlmath]\triangle AMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle ONB[/inlmath]:
[dispmath]\overline{AM}:\overline{AO}=\overline{ON}:\overline{OB}[/dispmath]
[dispmath]\sqrt{20^2-r^2}:20=r:15[/dispmath]
[dispmath]15\sqrt{20^2-r^2}=20r[/dispmath]
Kvadriramo obe strane:
[dispmath]15^2\left(20^2-r^2\right)=20^2r^2[/dispmath]
[dispmath]225\left(20^2-r^2\right)=400r^2[/dispmath]
Skratimo obe strane sa [inlmath]25[/inlmath]:
[dispmath]9\left(20^2-r^2\right)=16r^2[/dispmath]
[dispmath]9\cdot 20^2-9r^2=16r^2[/dispmath]
[dispmath]25r^2=9\cdot 400[/dispmath]
[dispmath]r^2=9\cdot 16[/dispmath]
[dispmath]r=3\cdot 4[/dispmath]
[dispmath]r=12[/dispmath]
Pa će traženi luk biti
[dispmath]l=\frac{\pi r}{2}[/dispmath]
[dispmath]l=\frac{12\pi}{2}[/dispmath]
[dispmath]\underline{l=6\pi}[/dispmath]

Hvala ti puno...Mnogo si mi pomogao! Sad sam i ja sve razumjela!!

Poštovani, obzirom da je zadatak iz Veneove zbirke, koja je, nažalost poznata po greškama, kako u postavci zadataka, tako i u rešenjima, moram da primetim da je u zadatku dato da je visina [inlmath]6\text{ m}[/inlmath] a Vi ste računali kao da je [inlmath]6\text{ cm}[/inlmath], i dobili razliku zapremina [inlmath]2\text{ cm}^3[/inlmath] umesto [inlmath]200\text{ cm}^3[/inlmath] koliko piše u rešenju, koliko se i dobija kada se za visinu uzme [inlmath]600\text{ cm}[/inlmath]. Srdačan pozdrav i hvala na do sada svim razrešenim nedoumicama

Možda se u legendarnoj čika-Veneovoj zbirci i nađe poneka greška, ali s ovim zadatkom to nije slučaj – u pitanju je moj previd, zaista treba da se dobije [inlmath]200\text{ cm}^3[/inlmath]. Hvala na ispravci!

Ivananis1975 je napisao:Srdačan pozdrav i hvala na do sada svim razrešenim nedoumicama

Nema na čemu, pozdrav takođe.