MATEMANIJA

Da li neko može da mi objasni zašto su trouglovi [inlmath]AMC[/inlmath] i [inlmath]BMD[/inlmath] slični ako važi: Presek tetiva [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]M[/inlmath].

Uglovi [inlmath]\angle ACD[/inlmath] i [inlmath]\angle ABD[/inlmath] su periferni uglovi nad istom tetivom (tetivom [inlmath]AD[/inlmath]) i oba ta ugla su sa iste strane te tetive, prema tome, jednaki su:
[dispmath]\angle ACD=\angle ABD[/dispmath]
Na isti način se može dokazati i da su uglovi [inlmath]\angle CAB[/inlmath] i [inlmath]\angle CDB[/inlmath] jednaki – oba ugla su periferna nad istom tetivom (tetivom [inlmath]CB[/inlmath]) i sa iste su strane u odnosu na tu tetivu:
[dispmath]\angle CAB=\angle CDB[/dispmath]
Uglovi [inlmath]\angle AMC[/inlmath] i [inlmath]\angle BMD[/inlmath] su unakrsni, prema tome, jednaki su:
[dispmath]\angle AMC=\angle BMD[/dispmath]
Prema tome, trouglovi [inlmath]\triangle AMC[/inlmath] i [inlmath]\triangle BMD[/inlmath] imaju jednake uglove, odakle sledi da su slični.

(Naravno, nije bilo potrebe dokazivati jednakost sva tri para uglova. To sam učinio samo zato da bih pokazao sve mogućnosti dokazivanja. Dovoljno je dokazati jednakost samo dva para uglova, a iz toga će automatski slediti i jednakost trećeg para uglova.)