MATEMANIJA

U krug poluprecnika [inlmath]9\mbox{ cm}[/inlmath] upisan je cetvorougao [inlmath]ABCD[/inlmath] sa normalnim dijagonalama, koje se seku u tacki [inlmath]S[/inlmath]. Rastojanje dijagonala od centra kruga su [inlmath]3\mbox{ cm}[/inlmath] i [inlmath]7\mbox{ cm}[/inlmath]. Izracunati povrsinu cetvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] i odnos u kome tacka [inlmath]S[/inlmath] deli duzu dijagonalu [inlmath]BD[/inlmath].
ja sam pokusava da resim ali nisam imao nikakvu ideju uzdam se u vas

problem je u tome sto nisam siguran kao kakav cetvorougao treba da ga posmatram, pa samim tim ne znam ni koje formule bih upotrebio, ja sam pretpostavio da je kvadrat, romb, deltoid, ali nisam uspeo, a i to odstojanje centra kruga od dijagonala ne znam kako da upotrebim

Ako nije eksplicitno rečeno da je taj četvorougao kvadrat, pravougaonik, romb, romboid, trapez, deltoid, pravougli, ili da ima bilo kakvu pravilnost, onda moraš posmatrati najopštiji slučaj, a to je najnepravilniji mogući četvorougao.

Treba samo da nacrtaš sliku, a ona će ti sve reći.


Posmatrajući trougao [inlmath]\triangle OAM[/inlmath] (ili trougao [inlmath]\triangle OCM[/inlmath], svejedno), preko Pitagorine teoreme odrediš dužinu dijagonale [inlmath]AC[/inlmath]. Na sličan način, posmatrajući trougao [inlmath]\triangle OBN[/inlmath] (ili trougao [inlmath]\triangle ODN[/inlmath]), odrediš i dužinu dijagonale [inlmath]BD[/inlmath].

Površinu četvorougla odrediš kao zbir površine trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i površine trougla [inlmath]\triangle ADC[/inlmath].

Bi sad znao dalje?

hvala da sve se lepo vidi kada se nacrta, u tome je i bio problem samo da proverim nesto. [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] predstavljaju sredine dijagonala [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BD[/inlmath], ali kako to znamo? kaze da su dijagonale udaljene [inlmath]7[/inlmath] odnosno [inlmath]3\mbox{ cm}[/inlmath] od centra ,trougao [inlmath]AOC[/inlmath] je jednakokraki pa je [inlmath]OM[/inlmath] simetrala stranice [inlmath]AC[/inlmath]? i jos nesto, stranice [inlmath]SN[/inlmath] i [inlmath]OM[/inlmath] su jednaka kao i [inlmath]SM[/inlmath] i [inlmath]ON[/inlmath] jel to treba nekako dokazivati ili je dovoljno to sa slike sto se vidi

jovica je napisao:[inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] predstavljaju sredine dijagonala [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BD[/inlmath], ali kako to znamo? kaze da su dijagonale udaljene [inlmath]7[/inlmath] odnosno [inlmath]3\mbox{ cm}[/inlmath] od centra ,trougao [inlmath]AOC[/inlmath] je jednakokraki pa je [inlmath]OM[/inlmath] simetrala stranice [inlmath]AC[/inlmath]?

Tako je. [inlmath]OA=OC[/inlmath] (poluprečnik kružnice), a pošto je [inlmath]\triangle AOC[/inlmath] jednakokraki trougao, sledi i da je [inlmath]\angle OAM=\angle OCM[/inlmath]. Pošto [inlmath]OM[/inlmath] predstavlja rastojanje tetive [inlmath]AC[/inlmath] od tačke [inlmath]O[/inlmath], sledi da je [inlmath]OM\perp AC[/inlmath], tj. da je [inlmath]\angle AMO=\angle CMO\:\left(=90^\circ\right)[/inlmath].
Odatle vidimo da trouglovi [inlmath]\triangle AMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CMO[/inlmath] imaju sledeće jednake elemente:
[inlmath]OA=OC\:\left(=r\right)\\
\angle OAM=\angle OCM\\
\triangle AMO=\triangle CMO\\
OM=OM[/inlmath]
što je čak četiri jednaka elementa, a znamo da su tri jednaka elementa dovoljan uslov (pod uslovom da nisu sva tri elementa uglovi, nego da je bar jedan od njih neka stranica) da dva trougla budu podudarna. Prema tome, na osnovu ova četiri jednaka elementa zaključujemo da su [inlmath]\triangle AMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CMO[/inlmath] podudarni, a odatle i da su njihove stranice, [inlmath]AM[/inlmath] i [inlmath]CM[/inlmath], jednake, tj. da [inlmath]M[/inlmath] predstavlja sredinu dijagonale [inlmath]AC[/inlmath].
Na isti način se dokazuje i da je [inlmath]N[/inlmath] sredina dijagonale [inlmath]BD[/inlmath].

jovica je napisao:i jos nesto, stranice [inlmath]SN[/inlmath] i [inlmath]OM[/inlmath] su jednaka kao i [inlmath]SM[/inlmath] i [inlmath]ON[/inlmath] jel to treba nekako dokazivati ili je dovoljno to sa slike sto se vidi

Dokaz je sasvim trivijalan – prema uslovu zadatka je [inlmath]\angle MSN=90^\circ[/inlmath] (jer je rečeno da su dijagonale međusobno normalne), zatim, kao što već rekosmo, [inlmath]\angle SMO=90^\circ[/inlmath], a isto tako je i [inlmath]\angle SNO=90^\circ[/inlmath]. Pošto četvorougao [inlmath]OMSN[/inlmath] ima tri prava ugla, četvrti ugao takođe mora biti prav, pa zaključujemo da je u pitanju pravougaonik. Pošto pravougaonik (kao, uostalom, i svaki paralelogram) ima jednake naspramne stranice, a kod ovog pravougaonika su naspramne stranice [inlmath]OM[/inlmath] i [inlmath]NS[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]OM=NS[/inlmath].
Odatle, takođe, sledi i da je [inlmath]ON=MS[/inlmath], ali to ti ovde nije potrebno, budući da se u zadatku traži samo odnos u kojem tačka [inlmath]S[/inlmath] deli dužu dijagonalu [inlmath]BD[/inlmath], ali ne i kraću dijagonalu [inlmath]AC[/inlmath].

Pozdrav, a kako naći odnos u kom tačka [inlmath]S[/inlmath] deli dijagonalu [inlmath]BD[/inlmath] ?

Ako znamo dužinu dijagonale [inlmath]BD[/inlmath] (nju izračunamo preko Pitagorine teoreme), takođe je
[dispmath]OM=NS[/dispmath] Dalje je jednostavno, dobijemo dužine [inlmath]BS[/inlmath] i [inlmath]SD[/inlmath] i podelimo da bismo dobili odnos.

Hvala puno